Markovkedja

Wikipedia

En Markovkedja är inom matematiken en stokastisk process med Markovegenskapen, det vill säga att processens förlopp kan bestämmas utifrån dess befintliga tillstånd utan kännedom om det förflutna. Normalt avses processer som är tidsdiskreta, men den går även att definiera tidskontinuerliga Markovkedjor.

En diskret, ändlig Markovkedja kan representeras av en stokastisk matris eller övergångsmatris. Givet en sannolikhetsvektor, erhålles sannolikhetsvektorn för nästa steg i kedjan av multiplikation med övergångsmatrisen. Flera steg kan beräknas genom exponentiering av övergångsmatrisen. Det är även möjligt att beräkna processens stationära fördelning, det vill säga vad som händer då processen fortsätter i oändligheten, med hjälp av egenvektorer.

Markovkedjor har många tillämpningsområden, bland annat för att beskriva befolkningsprocesser och inom bioinformatik. Resultaten som ligger till grund för teorin om Markovkedjor framlades 1906 av Andrei Markov.

Innehåll

1 Matematisk modell
- 1.1 Tillstånd och övergångar
- 1.2 Stationär fördelning
2 Exempel
3 Tillämpningar

[redigera] Matematisk modell

[redigera] Tillstånd och övergångar

Antag att den process vi vill beskriva kan anta n olika tillstånd, L1, L2, ... Ln. Vi anger sannolikheten för dess tillstånd vid tidpunkten t i form av en kolumnvektor med n element:

$\mathbf{x}_t = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

Elementet x_n är ett tal mellan 0 och 1 som beskriver sannolikheten för att processen befinner sig i tillståndet Ln. Summan av alla element är 1. Om vi med säkerhet vet att processen vid tiden t befinner sig i tillståndet Lk, är x_k = 1 och övriga element 0.

Att processen är stokastisk med Markovegenskapen innebär att vi för varje tillstånd kan ange sannolikheten för att processen ska hoppa till varje annat tillstånd. Sannolikheterna för de enskilda fallen kan ställas upp i en övergångsmatris, som är en kvadratisk matris med dimensionen n × n. Om vi här låter x → y beteckna sannolikheten för en övergång från tillståndet Lx till Ly, har övergångsmatrisen P följande form:

$P = \begin{bmatrix} 1 \to 1 & 2 \to 1 & \cdots & n \to 1 \\ 1 \to 2 & 2 \to 2 & \cdots & n \to 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 \to n & 2 \to n & \cdots & n \to n \\ \end{bmatrix}$

Precis som i en sannolikhetsvektor, är alla element i övergångsmatrisen reella tal mellan 0 och 1, och summan längs en kolumn måste vara 1 (eftersom den totala sannolikheten av varje möjligt utfall av en övergång är 1). Värdena längs diagonalen anger sannolikheterna för att ingen förändring sker under ett steg.

Vi kan nu beräkna sannolikhetsvektorn för tidpunkten t+1 genom att multiplicera sannolikhetsvektorn för tidpunkten t med övergångsmatrisen (observera att operandernas ordning spelar roll, eftersom matrismultiplikation inte är kommutativ):

$\mathbf{x}_{t+1} = P \mathbf{x}_{t}$

Genom att upprepa multiplikationen kan nästföljande sannolikhetsvektor bestämmas. Tillståndet för en tidpunkt t+n godtycklig långt in i framtiden kan beräknas genom att multiplicera x_t med matrisens n:te potens:

$\mathbf{x}_{t+n} = P^n \mathbf{x}_{t}.$

[redigera] Stationär fördelning

[redigera] Exempel

Diagram över en enkel Markovmodell för vädret. I vänstra kolumnen visas en kedja med vackert väder (blått) under den första dagen, i den högra en kedja med dåligt väder (mörkgrått) som utgångspunkt. Bägge processerna fortlöper under tre dagar. I varje övergång bevaras 90% av sannolikheten för vackert väder medan varje andel sannolikhet för dåligt väder övergår till en 50/50 procents chans. I det långa loppet blir sannolikheten för vackert väder ungefär 83%, oberoende av vädret första dagen.

Betrakta följande mycket enkla stokastiska modell för att beskriva vädret:

Det finns två olika tillstånd: antingen skiner solen, eller så regnar det. Vi betraktar vädret en dag i taget.
Om solen skiner är det 90% sannolikt att det blir vackert väder också nästa dag.
Om det regnar är det 50% sannolikt att det fortsätter regna dagen efter.

Modellen beskrivs av följande övergångsmatris:

$P = \begin{bmatrix} 0,\!9 & 0,\!5 \\ 0,\!1 & 0,\!5 \end{bmatrix}$

Om vi vet att solen skiner under dag 0 (med andra ord att sannolikheten för att solen skiner är 100%, respektive 0% för att det regnar) representeras tillståndet för denna dag av sannolikhetsvektorn

$\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.$

Nu kan det sannolika vädret under dag 1 beräknas genom

$\mathbf{x}_1 = P \mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 0,\!9 & 0,\!5 \\ 0,\!1 & 0,\!5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,\!9 \\ 0,\!1 \end{bmatrix},$

och sannolikheten är alltså 90% att solen skiner även den dagen. På samma sätt kan vädret under dag 2 förutspås genom

$\mathbf{x}_2 = P \mathbf{x}_1 = P^2 \mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 0,\!9 & 0,\!5 \\ 0,\!1 & 0,\!5 \end{bmatrix}^2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0,\!86 \\ 0,\!14 \end{bmatrix}.$