Potens (matematik)
Wikipedia
Begreppet potens är ett räknesätt inom aritmetiken, ofta kallat det femte räknesättet.
[redigera] Definition
[redigera] 1
I sin enklaste form (som tidigare kallades dignitet) kan man definiera potens som upprepad multiplikation. Exempelvis, 43 (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64.
Här kallas 4 bas och 3 exponent.
I den här definitionen förutsätts att exponenten är ett positivt heltal.
[redigera] 2
Med utgångspunkt i att potenslagarna fortsättningsvis ska vara uppfyllda om exponenten är vilket heltal som helst, inför man definitionerna att
- a0 = 1 (om a ≠ 0)
- a−n = 1 / an (om a ≠ 0)
För a = 0 går det inte att ge en definition för ax annat än om x>0. Speciellt hör uttrycket 00 till de odefinierbara uttrycken.
[redigera] 3
För att den tredje potenslagen ska fungera, definieras potens med en rationell exponent
- x = a p/q (där a > 0) är det positiva tal x som uppfyller xq = ap
Speciellt betecknas a1/2 som (kvadrat)roten ur a (skrives
) och a1/3 som kubikroten ur a (skrives ![\sqrt[3] a](../../../math/2/3/c/23c75e34f5a80b030b27191fe1762656.png)
).
[redigera] 4
Om exponenten är irrationell, dvs reell men inte rationell, utgår man från kontinuitetsprincipen:
Om x1<y<x2 så ska ax1<ay<ax2 gälla (där a>1), och genom att låta x2 − x1 bli allt mindre, bestäms ay som ett gränsvärde. (Om 0<a<1 gäller omvända olikheter.)
Vanligen definierar man ax = ex ln a
[redigera] 5
För komplexa tal (och därmed även för negativa reella baser) kan man skriva om potensuttrycket, så att det kan återföras på följande definition:
- eiφ = cosφ + isinφ
