Электрический импеданс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Электрический импеда́нс — комплексное сопротивление двухполюсника для гармонического сигнала.

Содержание

1 Аналогия с сопротивлением
2 Определение
3 Физический смысл
- 3.1 Алгебраическая форма
- 3.2 Тригонометрическая форма
4 Ограничения
5 Вычисление импеданса
- 5.1 Идеальные элементы
- 5.2 Общий случай
6 Экспериментальное измерение импеданса
7 Применение импеданса
8 Смотри также

[править] Аналогия с сопротивлением

В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение напряжения и тока на нем, попытка применения термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора — к бесконечности.

Такой результат вполне закономерен, поскольку сопротивление элементов рассматривается на постоянном токе, то есть на нулевой частоте, когда реактивные свойства не проявляются. Однако в случае переменного тока свойства реактивных элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю. То есть реактивные элементы на переменном токе ведут себя как элементы с неким конечным «сопротивлением», которое и получило название электрический импеданс (или просто импеданс). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно оно позволяет одновременно учитывать и амплитудные, и фазовые характеристики сигналов.

[править] Определение

Импедансом $\hat z(j \omega)\;$ называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник. При этом импеданс не должен зависеть от времени.

$\hat z(j \omega)\;= \frac{\hat u(j \omega, t)\;}{i(j \omega, t)\;} = \frac{U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}}{I(\omega) e^{j(\omega t + \phi_i(\omega))}} = \frac {U(\omega) e^{j\phi_u(\omega)}}{I(\omega) e^{j\phi_i(\omega)}} = \frac{\hat U(j\omega)\;}{\hat I(j\omega)\;}$

(1)

Здесь

j — мнимая единица;
$ω$ — циклическая частота;
$U (ω)$ , $I (ω)$ — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте $ω$ ;
$φ u (ω)$ , $φ i (ω)$ — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте $ω$ ;
$\hat U(j\omega)\;$ , $\hat I(j\omega)\;$ — Комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте $ω$ ;

Исторически сложилось, что обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплекснозначных функций частоты записывают как $f (j ω)$ , а не $f (ω)$ . Такое обозначение показывает, что мы имеем дело с комплексными представлениями гармонических функций вида $e j ω t$ . Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: $\hat U(j\omega)\;$ чтобы отличать от соответствующих некомплексных величин.

[править] Физический смысл

[править] Алгебраическая форма

Если рассматривать комплексный импеданс как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть двухполюсник с импедансом $\hat z(j \omega)\;$ можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением $\Re(\hat z(j \omega)\;)$ и чисто реактивный элемент с импедансом $\Im(\hat z(j \omega)\;)$

Рассмотрение действительной части полезно при расчете мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

[править] Тригонометрическая форма

Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько ток отстает от напряжения.

[править] Ограничения

Понятие импеданса применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени t, поскольку при вычислении импеданса множитель $e j ω t$ в (1) не сокращается.

Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в малосигнальном приближении для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для нее.

[править] Вычисление импеданса

[править] Идеальные элементы

[править] Резистор

Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению R и не зависит от частоты:

z R = R

(2)

[править] Конденсатор

Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:

$i(t)=C \frac {dU}{dt}$

(3)

Отсюда следует, что при напряжении

$\hat u(j \omega, t)\;= U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}$

(4)

ток, текущий через конденсатор, будет равен:

$\hat i(j \omega, t)\;= C \frac {d}{dt} \left( U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))} \right) = j \omega C U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}$

(5)

После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:

$\hat z_C(j \omega)\;= \frac {1}{j \omega C}$

(6)

[править] Катушка индуктивности

Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:

$\hat z_L(j \omega)\;= j \omega L$

(7)

[править] Общий случай

Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведенные выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчета сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов (не путать с формулами емкости для последовательно и параллельно соединенных конденсаторов!). При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:

$\hat z(j \omega)\;= R + \frac {1}{j \omega C} + j \omega L$

[править] Экспериментальное измерение импеданса

Импеданс реальных элементов может быть измерен специальными приборами: измерителем RLC или анализатором импеданса. Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных напряжениях смещения.

[править] Применение импеданса

Введение импеданса позволяет описывать поведение двухполюсника с реактивными свойствами при воздействии на него гармонического сигнала. Кроме того, в случае негармонического сигнала импеданс применяется столь же успешно. Для этого сигнал раскладывается на спектральные компоненты при помощи ряда Фурье или преобразования Фурье и рассматривается воздействие каждой спектральной компоненты. Вследствие линейности двухполюсника сумма откликов на спектральные компоненты равна отклику на исходный негармонический сигнал.

[править] Смотри также

Внутреннее сопротивление

Категория: Теоретические основы электроники