Частица в периодическом потенциале

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В квантовой механике, частица в одномерном периодическом потенциале это идеализированная задача, которая может быть решена точно (при некоторых специального вида потенциалах), без упрощений. Предполагается, что потенциал бесконечен и периодичен, то есть обладает трансляционной симметрией, что вообще говоря не выполняется для реальных кристаллов и всегда существует как минимум один дефект — поверхность (это приводит к другой задаче о поверхностных состояниях или таммовских уровнях).

[править] Постановка задачи

Рассмотрим одномерную решётку положительных ионов, расстояние между которыми $\! a$ . Потенциал в этом случае будет выглядеть подобно этому:

Уравнение Шрёдингера в нашем случае:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2} + V_a(x) \psi (x) = E \psi (x)$

с периодическим потенциалом $V a (x) = V a (x + a).$ Общий вид решения уравнения Шрёдингера с периодическим потенциалом, согласно теореме Блоха —

$\psi (x) = e^{ikx} u(x), \;$

где u(x) — некоторая периодическая функция:

u(x + a) = u(x).

Кстати, k часто называют квазиимпульсом, по аналогии с волновой функцией e^ikx для частицы с определённым импульсом k.

Как видно, вся волновая функция определяется величиной k и любым участком функции длиной a.

При приближении к краям решётки появляется проблема граничных условий. Удобно представить решётку кольцом некоторой длины L >> a. Тогда вместо двух граничных условий у нас всего одно граничное условие:

$\psi (0)=\psi (L)\,$

Если N — число ионов в решётке, то aN = L. Подставляя волновую функцию в граничное условие, получаем квантование для k:

$\psi (0) = e^{ik \cdot 0} u(0) = e^{ikL} u(L) = \psi (L)\,$

$u(0) = e^{ikL} u(N a) \rightarrow e^{ikL} = 1\,$

$\Rightarrow kL=2\pi n \rightarrow k= {2\pi \over L} n \qquad \left( n=0, \pm 1, \pm 2, ..., \pm {N \over 2} \right).\,$

[править] Модель Кронига-Пенни

Для упрощения задачи потенциал приближают прямоугольным:

Используя теорему Блоха мы найдём волновую функцию во всём пространстве, но сначала надо найти решение для одного периода, и сделать его гладким на краях, то есть "сшить" значения соседних функций и их производных. Рассмотрим один период потенциала:

У нас есть две независимых области для которых мы найдём решения:

$0<x<a-b : {-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = E \psi$

$\Rightarrow \psi = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} \quad \left( \alpha^2 = {2mE \over \hbar^2} \right)$

$-b<x<0 : {-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = (E+V_0)\psi$

$\Rightarrow \psi = B e^{i \beta x} + B' e^{-i \beta x} \quad \left( \beta^2 = {2m(E+V_0) \over \hbar^2} \right)$

Для нахождения u(x) в каждой области нужно проделать следующие преобразования:

$\psi(0<x<a-b) = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} = e^{ikx} \cdot \left( A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x} \right)$

$\Rightarrow u(0<x<a-b)=A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x}$

Аналогично получим

$u( -b<x<0)=B e^{ i (\beta - k) x} + B' e^{ - i ( \beta + k ) x} \;$

Чтобы найти полное решение нам надо убедиться в гладкости искомой функции на границах:

$\psi(0^{-})=\psi(0^{+}) \quad \psi'(0^{-})=\psi'(0^{+})$

и периодичности u(x) и u'(x)

$u(-b)=u(a-b) \quad u'(-b)=u'(a-b).\,$

Эти условия дают следующую матрицу:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ \alpha & -\alpha & -\beta & \beta \\ e^{i(\alpha-k)(a-b)} & e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -e^{-i(\beta-k)b} & -e^{i(\beta+k)b} \\ (\alpha-k)e^{i(\alpha-k)(a-b)} & (\alpha+k)e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -(\beta-k)e^{-i(\beta-k)b} & (\beta+k)e^{i(\beta+k)b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ A' \\ B \\ B' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Для существования нетривиального решения необходимо зануление детерминанта этой матрицы. После некоторых преобразований получаем:

$\cos(k a) = \cos(\beta b) \cos[\alpha(a-b)]-{\alpha^2+\beta^2 \over 2\alpha \beta} \sin(\beta b) \sin[\alpha(a-b)]. \qquad ( * )$

Для дальнейшего упрощения мы выполним следующие упрощения, смысл которых заключается к переходу к дельта-образным потенциалам (дираковская гребёнка) :

$b \rightarrow 0 \ ; \ V_0 \rightarrow \infty \ ; \ V_0 b = \mathrm{constant}$

$\Rightarrow \beta b \rightarrow 0 \ ; \ \beta^2 b = \mathrm{constant} \ ; \ \alpha^2 b \rightarrow 0 \ ; \ \sin(\beta b) \rightarrow \beta b \ ; \ \cos(\beta b) \rightarrow 1$

Тогда конечный ответ будет:

$\cos(k a) = \cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a} \qquad \left( P={\beta^2 a b \over 2} \right)$

[править] Программный код

Следующий программный код написан на языке Maple (9.5). Представляет собой просто графическое решение $( * )$ .

 
 > restart;
 > with(plots):
 > with(stats[statplots]):
 > eq:=cos(k*a)=cos(beta*b)*cos(alpha*(a-b))-   
 (alpha^2+beta^2)/(2*alpha*beta)*sin(beta*b)*sin(alpha*(a-b));
 > alpha:=sqrt(8*Pi^2*m*(E)*e/h^2):
 > beta:=sqrt(4*Pi^2*m*(E+V)*e/h^2):
 > e:=1.6*1e-19:
 > a:=0.54310*1e-9:
 > m:=0.19*9.1*1e-31:
 > b:=1/5*a:
 > h:=6.6*1e-34:
 > k(E,V):=arccos(rhs(evalf(eq)));
 #График
 > p:=plot({subs(V=10,k(E,V)),subs(V=10,-k(E,V))},E=-5..50,labels=[ka, E],color=blue):
 > xyexchange(p);
 #Анимация, зависимость от глубины ямы
 > p:=animate( plot, [{k(E,V),-k(E,V)},E=-10..50, color=blue,labels=[ka, E]], V=0..30 ):
 > xyexchange(p);

На рисунках представлены графические решения уравнения ( * ).

Линии отвечают разрешённым значениям энергии. Существуют области по энергии, где ни при каких значениях волнового вектора невозможно существование электрона.