Уравнение Шрёдингера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравне́ние Шрёдингера в квантовой физике — уравнение, связывающее пространственное распределение амплитуды вероятности с энергией частицы. Предложено австрийским физиком Эрвином Шрёдингером в 1925 в качестве окончательного объяснения атомной структуры с помощью представлений о волновой функции. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы.

[править] Описание

В квантовой механике вместо классических уравнений физики (например, F=ma) вводится уравнение Шрёдингера. Открытие этого уравнения последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любому веществу присущи волновые свойства.

Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Однако это уравнение не может быть выведено из более простых представлений. Оно является одним из фундаментальных законов физики, объясняющих физические явления. Квантовая теория, однако, не требует полного отказа от законов Ньютона, а лишь настаивает на отказе от абсолютной определенности в задании начальных условий. Следовательно уравнение Шрёдингера должно согласовываться с законами Ньютона в среднем. Более того, если размер и масса частицы становятся макроскопическими, прогнозы квантовой и классической теорий совпадают, потому что неопределённый путь частицы становится близким к однозначной траектории.

В начале XX века ученые пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Наиболее примечательным из этих расхождений было открытие того факта, что физические системы квантуются.

[править] Формулировка

[править] Общий случай

В квантовой физике изначально вводится представления о вероятностном поведении частицы путем задания некоторой функции, называемой волновой и характеризующей вероятность местонахождения частицы (см. Волновая функция). Затем выводится уравнение для этой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов Ньютона, и определив вместо этого волновую функцию ( $\! \Psi$ ), необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения $\! \Psi$ в частных физических задачах. Искомым уравнением будет уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в N-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ , в определенный момент времени t она будет иметь вид $\! \Psi \left( \vec{r}, t \right)$ . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

$- {{\hbar}^2 \over 2 m} {\Delta} \Psi ( \vec{r} , t) + {E}_p ( \vec{r} ) \Psi ( \vec{r} , t ) = - {\hbar \over i} {\partial \over \partial t} \Psi (\vec{r},t) , \qquad ( 1 )$

где $\hbar = {h \over 2 \pi}$ , $\! h$ — постоянная Планка; $\! m$ — масса частицы, $\! {E}_p ( \vec{r} )$ — потенциальная энергия частиц в точке $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ , $\! \Delta$ — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла, и в частном случае декартовых координат, имеет вид:

$\Delta \equiv {\nabla}^2 = {{\partial}^2 \over \partial {x}_1^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_2^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_3^2} + \ldots + {{\partial}^2 \over \partial {x}_n^2}$

[править] Частный случай трёхмерного пространства

В трёхмерном случае неизвестные являются функциями трех координат и $\! \Delta \Psi$ в декартовой системе координат заменяется выражением

$\! \Delta \Psi = {{\partial}^2 \Psi \over \partial {x}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {y}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {z}^2} ,$

тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

$- {{\hbar}^2 \over 2 m} \left( {{\partial}^2 \Psi \over \partial {x}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {y}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {z}^2} \right) + {E}_p ( x , y , z ) \Psi = - {\hbar \over i} {\partial \Psi \over \partial t} ,$

где $\hbar = {h \over 2 \pi}$ , $\! h$ — постоянная Планка; $\! m$ — масса частицы, $\! {E}_p ( x , y , z )$ — потенциальная энергия частиц в точке $\! ( x , y , z )$

[править] Стационарное уравнение Шрёдингера

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда $\! {E}_p$ не является функцией времени, можно записать в виде:

$\! \Psi ( \vec{r}, t) = \psi ( \vec{r} ) {e}^{( - 2 \pi i / h) E t } , \qquad ( 2 )$

где функция $\! \psi ( x )$ должна удовлетворять уравнению:

$\! - {{\hbar}^2 \over 2 m } \Delta \psi (\vec{r}) + {E}_p ( \vec{r} ) \psi (\vec{r}) = E \psi (\vec{r}) , \qquad ( 3 )$

которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для $\! \Psi$ (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражениe (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции $\! \Psi ( \vec{r} , t )$ от времени проста, но зависимость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции $\! {E}_p ( \vec{r} )$ совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции $\! {E}_p ( \vec{r} )$ .

Важное значение имеет интерпретация величины $\! E$ в уравнении (2). Она производится следующим путём: временна́я зависимость функции $\! \Psi ( \vec{r} , t )$ в уравнении (2) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при $\! t$ в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит просто постоянный множитель $\! E$ . В левой же части уравнения (3) функция $\! \psi$ умножается на потенциальную энергию $\! {E}_p ( \vec{r} )$ . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина $\! E$ должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что $\! E$ представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, $\! E$ действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией $\! \Psi ( \vec{r} , t )$ .