Волновая функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Волнова́я фу́нкция (функция состояния, пси-функция, амплитуда вероятности) — комплексная функция, используемая в квантовой механике для вероятностного описания состояния квантовомеханической системы. В широком смысле — то же самое, что и вектор состояния.
Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: вероятность нахождения частицы (или физической системы) в данном состоянии равна квадрату абсолютного значения амплитуды вероятности этого состояния.
Содержание |
[править] Физический смысл квадрата модуля волновой функции
Волновая функция
зависит от координат (или обобщённых координат) системы и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля
представлял собой плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами
.
Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полный набор физических величин, которые можно измерить в системе. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов величин, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.
Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плостность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.
Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями
и ,
то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией
при любых комплексных
и .
[править] Свойства волновой функции
Отметим свойства волновой функции в частном случае трёхмерного пространства в декартовых координатах. В этом случае зависит от трёх переменных и имеет следующие свойства :
- 1. Импульс частицы в каждом из направлений пропорционален первой производной волновой функции, делённой на саму волновую функцию, а именно
-
- где — импульсы, .
- 2. Кинетическая энергия частицы пропорциональна второй производной, или кривизне волновой функции, деленной на саму волновую функцию
- 3. Абсолютная величина квадрата функции (то есть сумма возведённых отдельно в квадрат мнимой и действительной частей функции ) равна вероятности нахождения частицы в точке с координатами . Это свойство противоречит законам классической механики, в которой положение частиц в данный момент времени фиксировано. Одно из мнимых ограничений квантовой механики состоит в том, что она с достоверностью определяет лишь время (или, точнее говоря, вероятность) нахождения частицы в данном положении . В квазиклассическом пределе волновые функции локализуются в дельта-функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.
[править] Матричная и векторная формулировки
Любая функция может быть представлена, как бесконечная таблица из её значений, соответствующих каждому аргументу. Если представить в таком виде волновую функцию, то она станет столбцом координат бесконечномерного вектора в Гильбертовом пространстве, то есть, матрицей.
Одна и та же волновая функция в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов.
Функциональная (волновая), матричная и векторная формулировки математически эквивалентны.
[править] Философский смысл волновой функции
Волновая функция представляет собой наиболее полное возможное описание квантовомеханической системы. Если в классической механике полное описание системы заключалось в задании местоположений и скоростей всех её частиц и это описание позволяло описать всё будущее и прошлое системы, то в квантовой механике некоторые параметры описать принципиально невозможно. Согласно квантовой механике, описание системы заканчивается на уровне волновой функции и только на уровне волновой функции возможно описать будущее и прошлое системы. Более подробное описание системы, например, с точностью до указания местоположений и скоростей всех её частиц — невозможно и значения этих параметров оказываются более или менее случайными.
Таким образом, создав квантовую механику, наука дошла до состояния, когда она смогла положить конец многовековому противопоставлению детерминизма и индетерминизма. Современная наука утверждает, в мире сочетаются детерминизм и индетерминизм, и границей между ними служит волновая функция.
Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика — это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования, есть ли бильярдные шары предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать о том, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше.
Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.