Радикальный признак Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

с неотрицательными членами существует такое число $d$ , $0 < d < 1$ , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство $\sqrt[n]{a_n}<d$ то данный ряд сходится.

[править] Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1$

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда

$\sum_{n=1}^\infty a_n \ (a_n \ge \; 0) \ \exists\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l \;$ , то

если l<1 ряд сходится,

если l>1 ряд расходится.

[править] Примеры

1. Ряд

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}$

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}$

2. Рассмотрим ряд

$\sum_{n=1}^\infty {(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}$

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} {(\frac{n-1}{n+1})}^{n-1} = \lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{2}{n+1})}^{n-1} = e^{-2} < 1 \Rightarrow$ ряд сходится

[править] См. также

Признак сходимости Д’Аламбера

Категория: Ряды и последовательности

Views

Участие

Поиск

На других языках

Эта страница последний раз была изменена 16:33, 3 августа 2006 участником Участник Википедии YurikBot. Основано на работе Участник(и) Википедии FHen, Andyvolykhov, Tosha и A5b и Анонимные пользователи Википедии.
Содержимое доступно в соответствии с GNU Free Documentation License.
Описание Википедии
Отказ от ответственности