Wurzelkriterium

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Das Wurzelkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Formulierungen
2 Beweisskizze
3 Restgliedabschätzung
4 Das Wurzelkriterium ist schärfer als das Quotientenkriterium
5 Quellen

[Bearbeiten] Formulierungen

Sei eine unendliche Reihe $S = \sum_{n=0}^\infty a_n$ mit reellen oder komplexen Summanden a_n gegeben. Falls man nun

$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}<1$ oder

$\sqrt[n]{|a_{n}|}\le C$ für ein C<1 und fast alle Indizes n

nachweisen kann, so konvergiert die Reihe S, und das sogar absolut. Ist jedoch

$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}> 1$ oder

$\sqrt[n]{|a_n|} \ge 1$ für unendlich viele Indizes n,

so divergiert die Reihe, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden. Im Fall

$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}= 1$ und

$\sqrt[n]{|a_n|} < 1$ für fast alle Indizes n

lässt sich nichts über die Konvergenz der Folge aussagen. So lässt sich beispielsweise mit dem Wurzelkriterium keine Aussage über die Konvergenz der allgemeinen harmonischen Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ für $\alpha\ge 1$ machen, da

$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/n^\alpha}=\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/n}\right)^\alpha= 1$ .

Für $α = 1$ ist die allgemeine harmonische Reihe divergent, für $α > 1$ konvergent; das Wurzelkriterium kann aber die beiden Fälle nicht unterscheiden.

[Bearbeiten] Beweisskizze

Das Wurzelkriterium wurde erstmals von Augustin Louis Cauchy bewiesen. Es folgt mit dem Majorantenkriterium aus Eigenschaften der geometrischen Reihe:

Denn gilt für alle $n\in\mathbb N:\;\sqrt[n]{|a_{n}|}\le C<1$ , so ist das Majorantenkriterium $\forall n\in\mathbb N:\;|a_{n}|\le C^n$ mit einer konvergenten geometrischen Reihe $\sum_{n=0}^\infty C^n=\frac1{1-C}$ als Majorante erfüllt.

Daran ändert sich auch nichts, falls dieses Kriterium für die ersten N Glieder der Reihe nicht

erfüllt ist.

Gilt $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=C<1$ , so ist $\sqrt[n]{|a_{n}|}\le \frac{1+C}2<1$ für fast alle n erfüllt, nach Definition des größten Häufungspunktes, womit wieder eine Majorante konstruiert werden kann.

[Bearbeiten] Restgliedabschätzung

Ist die Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergent, erhält man noch eine Fehlerabschätzung, d.h. eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach N Summanden:

$S-S_N = \sum_{n=N+1}^\infty a_n \le C^{N+1} \frac1{1-C}$ .

[Bearbeiten] Das Wurzelkriterium ist schärfer als das Quotientenkriterium

Sei $(a_n)\,$ eine positive Folge und sei

$\alpha=\liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \quad , \quad \alpha'=\liminf \sqrt[n]{a_n} \quad , \quad \beta'=\limsup \sqrt[n]{a_n} \quad , \quad \beta=\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}$ .

Liefert bei einer Reihe das

Quotientenkriterium eine Entscheidung (das heißt $β < 1$ im Falle der Konvergenz bzw. $α > 1$ im Falle der Divergenz)

so liefert auch das Wurzelkriterium eine Entscheidung (das heißt $β' < 1$ im Falle der Konvergenz bzw. $α' > 1$ im Falle der Divergenz).

Dies wird induziert durch die Ungleichungskette

$0\le \alpha\le \alpha'\le \beta'\le \beta\le \infty$

Ist ohne Einschränkung $\alpha>0\,$ und $\beta<\infty$ so gibt es zu jedem noch so kleinen ( $<\alpha\,$ ) aber positivem $\varepsilon$ eine Indexschranke $m\,$ ab der gilt

$\alpha-\varepsilon<\frac{a_{k+1}}{a_k}<\beta+\varepsilon \qquad \forall k\ge m$

Multipliziert man die Ungleichung durch von $k=m\,$ bis $n-1\,$ so erhält in der Mitte ein Teleskopprodukt.

$(\alpha-\varepsilon)^{n-m}<\frac{a_n}{a_m}<(\beta+\varepsilon)^{n-m}$

Multipliziert man anschließend mit $a_m\,$ durch und zieht die $n\,$ -te Wurzel so ist

$\sqrt[n]{a_m}\,(\alpha-\varepsilon)^{1-\frac{m}{n}}<\sqrt[n]{a_n}<\sqrt[n]{a_m}\,(\beta+\varepsilon)^{1-\frac{m}{n}}$

Für $n\to\infty$ konvergiert die linke Seite gegen $\alpha-\varepsilon$ und die rechte Seite gegen $\beta+\varepsilon$ . Daher ist

$\alpha-\varepsilon\le \liminf \sqrt[n]{a_n}$ und $\limsup \sqrt[n]{a_n}\le \beta+\varepsilon$

Das $\varepsilon\,$ durfte anfangs beliebig gewählt klein gewählt werden daher

$\alpha\le \alpha'$ und $\beta'\le \beta$

Sind beispielsweise die Reihenglieder $a_{2n}=\frac1{2^{2n}}$ und $a_{2n+1}=\frac4{2^{2n+1}}$ dann ist $\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}=2$ und $\frac{a_{(2n+1)+1}}{a_{2n+1}}=\frac18$ .