Паракомпактное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

При этом: семейство $\mathcal U$ множеств, лежащих в топологического пространстве $X$ , называется локально конечным в $X$ , если у каждой точки $x\in X$ существует окрестность в $X$ , пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства $\mathcal U$ ; семейство $\mathcal U$ множеств вписано в семейство $\mathcal V$ множеств, если каждый элемент семейства $\mathcal U$ содержится в некотором элементе семейства $\mathcal V$ .)

Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство. Паракомпактность является одним из исходных требований в теории многообразий.

Каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально. Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы, подчиненные произвольному заданному открытому покрытию.

[править] Свойства

В присутствии паракомпактности некоторые локальные снойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности,
- если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем;
- если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно полно по Чеху.
Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами, но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт.
Произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть.
В классе хаусдорфовых пространств
- Прообраз паракомпакта при совершенном отображении является паракомпактом,
- Образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом.
К числу паракомпактов относятся, в частности, пространства Линделёфа. Для пространства всех непрерывных вещественных функций на произвольном тихоновском пространстве, наделенном топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линдолёфовости.
Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нем компактом, то оно паракомиактно.
Все метризуемые пространства паракомпакты (теорема Стоуна) .
- Паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, то есть базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку $x\in X$ , непременно образует базу в этой точке.
Все компакты паракомпакты, но
- Но не каждое локально компактное хаусдорфово пространство паракомпактно.

Категория: Общая топология

Паракомпактное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Свойства

Views

Навигация

Участие

Поиск