Парадокс воронов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Парадокс во́ронов, известный также как парадокс Хемпеля или во́роны Хемпеля — логический парадокс, сформулированный немецким математиком Карлом Густавом Хемпелем в 1940-х годах, для иллюстрации того, что индуктивная логика иногда входит в противоречие с интуицией.

Чёрный ворон

Хемпель описал этот парадокс следующим образом. Предположим, что существует теория, согласно которой все вороны черные. Согласно формальной логике, эта теория эвивалентна теории, что все предметы, не являющиеся черными, не являются воронами. Если человек увидит много чёрных воронов, то его уверенность в том, что эта теория верна, увеличится. Однако, если человек увидит много красных яблок, то это увеличит его уверенность в том, что все не чёрные предметы не являются воронами, но при этом не увеличит его уверенность в том, что все вороны чёрные — несмотря на то, что, согласно вышесказанному, уверенность в этом также должны была бы увеличиться.

Наиболее распространенный метод разрешения этого парадокса состоит в применении теоремы Байеса, которая соотносит условную и предельную вероятность стохастических событий.

[править] Принцип индукции

Принцип индукции утверждает, что:

Наблюдение явления Х, которое соответствует теории Т, увеличивает вероятность того, что теория Т истинна.

Индуктивные умозаключения широко используются в науке. Мнение об истинности многих научных законов (таких, как, например, законы движения Ньютона или закон всемирного тяготения), базируется на том, что множество наблюдений подтверждает их истинность, в то время как не существует наблюдений, которые противоречили бы этим законам.

В парадоксе чёрных воронов проверяемым «законом» является утверждение «Все вороны чёрные». Поскольку это утверждение эквивалентно утверждению «Все предметы, не являющиеся чёрными, не являются воронами», а вероятность истинности последнего должна, в соответствии с принципом индукции, увеличиваться при наблюдении любых не чёрных предметов, не являющихся воронами, то получается, что наблюдение красных яблок должно увеличивать вероятность того, что все вороны чёрные.

[править] Предлагавшиеся решения

Не чёрные предметы, не являющиеся воронами

Источник парадокса лежит в том факте, что хотя утверждения «Все вороны чёрные» и «Все предметы, не являющиеся чёрными, не являются воронами», несомненно, эквивалентны, действие по нахождению чёрного ворона не имеет ничего общего с действием по нахождению не чёрного предмета, не являющегося вороном. Поэтому в реальной жизни наблюдение красных яблок не влияет на уверенность в истинности утверждения «Все вороны чёрные».

Философы предлагали несколько способов разрешения этого парадокса. Например, американский логик Нельсон Гудман предлагал дополнить индуктивную логику ограничением, согласно которому явление не должно рассматриваться как поддерживающее теорию «Все P являются Q», если оно также поддерживает теорию «Ни одно из P не является Q».

Другие философы подвергали сомнению эквивалентность двух утверждений применительно к индуктивным умозаключениям. В этой концепции наблюдение красных яблок увеличивает уверенность в том, что все не чёрные предметы не являются воронами, без увеличения уверенности в том, что все вороны чёрные. Однако в классической логике, если наблюдатель знает, что два утверждения либо одновременно верны, либо одновременно ложны, он не может считать одно из них более соответствующим истине, чем другое.

Гудман, а затем и другой философ, Уиллард Куин, предлагали концепцию так называемых проективных и непроективных предикатов. Утверждения, которые допускают обобщение с помощью индуктивной логики (такие, как «Все вороны чёрные»), они называли проективными предикатами, а утверждения, к которым индуктивная логика неприменима (например, «Все не чёрные предметы не являются воронами») — непроективными. Куин предлагал определять, какие из предикатов являются проективными, а какие нет, на основе опыта и здравого смысла. Он указывал также, что непроективные предикаты не могут подтверждаться непосредственным наблюдением описываемых в них явлений, но подтверждаются наблюдением явлений, описываемых проективными предикатами, эквивалентными исходным. В этой концепции наблюдение не чёрного яблока не увеличивает вероятность не только того, что все вороны чёрные, но и того, что все не чёрные предметы не являются воронами; вместо этого оба утверждения подтверждаются только наблюдением чёрных воронов.

[править] Использование теоремы Байеса

Альтернативой использованию принципа индукции является применение теоремы Байеса, которая является одной из фундаментальных теорем в теории вероятностей и математической статистике.

Пусть X — явление, подтверждающее теорию T, и пусть I — наши знания об окружающей обстановке, кроме самого явления X.
Пусть $P r (T | X I)$ — вероятность того, что теория T верна, при условии, что известно, что X и I верны. Тогда

$\Pr(T|XI) = \frac{\Pr(T|I) \cdot \Pr(X|TI)}{\Pr(X|I)}$

где $P r (T | I)$ — вероятность того, что теория T верна, при условии, что только об I известно, что оно верно; $P r (X | T I)$ — вероятность того, что X верно, при условии, что о T и I известно, что они верны; и $P r (X | I)$ — вероятность того, что X верно, при условии, что только об I известно, что оно верно.

При использовании этой теоремы парадокс не появляется. Если наблюдатель выбирает яблоко случайным образом, то вероятность увидеть красное яблоко не зависит от того, являются ли все вороны чёрными или нет. Вторая часть числителя будет равна знаменателю, и вероятность выбрать красное яблоко не изменится. Наблюдение X и теория T не связаны, и наблюдение красного яблока не увеличит уверенности в том, что все вороны чёрные.

Если наблюдатель выбирает случайным образом какой-либо не чёрный предмет, и он оказывается яблоком, то вторая часть числителя будет больше знаменателя лишь на очень малую величину. В этом сценарии наблюдение красного яблока увеличит вероятность того, что все вороны чёрные, но очень незначительно. Чем больше не чёрных предметов мы будем наблюдать, не находя среди них воронов, тем больше будет наша уверенность в том, что все вороны чёрные, но темпы возрастания этой уверенности будут столь малы, что не будут ощущаться интуитивно. В предельном же случае, если бы наблюдатель мог увидеть все не чёрные предметы во Вселенной и не найти среди них воронов, то он, очевидно, убедился бы в том, что все вороны чёрные.

[править] Литература

Hempel, C. G. A Purely Syntactical Definition of Confirmation. J. Symb. Logic 8, 122—143, 1943.
Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. Mind 54, 1-26, 1945.
Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. II. Mind 54, 97-121, 1945.
Hempel, C. G. Studies in the Logic of Confirmation. In Marguerite H. Foster and Michael L. Martin, eds. Probability, Confirmation, and Simplicity. New York: Odyssey Press, 1966. 145—183.