Норма (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. норма.

Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.

Норма в векторном линейном пространстве $L$ над полем вещественных или комплексных чисел есть функция $p:L \to \mathbb{R}$ , удовлетворяющая следующим условиям:

$p(x) \ge 0$ , причём $p (x) = 0$ только при $x = 0$ ;
$p(x+y) \le p(x)+p(y)$ для всех $x, y \in L$ (неравенство треугольника);
$p (α x) = | α | p (x)$ для каждого скаляра $α$ .

Норма $x$ обычно обозначается $\|x\|$ . Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.

Примеры норм в линейных пространствах

Гёльдеровы нормы n-мерных векторов (семейство): $\|x\|_p = \sqrt[p]{\sum_{i} |x_i|^p}$
Нормы функций в пространстве $C [0,1]$ : $\|f(x)\|_{C[0,1]} = \max_{x \in [0,1]}|f(x)|$

Содержание

1 Топология пространства и норма
2 Эквивалентность норм
3 Операторная норма
4 Матричная норма
- 4.1 Виды матричных норм

[править] Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида $B(x,\epsilon)=\{y \mid \|x-y\|<\epsilon\}$ . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

[править] Эквивалентность норм

Две нормы $p$ и $q$ на пространстве $L$ называются эквивалентными, если существует две положительные константы $C 1$ и $C 2$ такие, что для любого $x \in L$ выполняется $C_1 p(x) \leq q(x) \leq C_2 p(x)$ . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

[править] Операторная норма

Норма оператора $A$ - число, которое определяется, как:

$\|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|$ .

где

A

— оператор, действующий из нормированного пространства

L

в нормированное пространство

K

Свойства операторных норм:

$\|A\| \ge 0$ , причём $\|A\| = 0$ только при $A = 0$ ;
$\|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|$ ;
$\|A + B\| \le \|A\| + \|B\|$ ;
$\|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|$ .

[править] Матричная норма

Нормой матрицы $A$ называется действительное число $\|A\|$ , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

$\|A\| \ge 0$ , причём $\|A\| = 0$ только при $A = 0$ ;
$\|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|$ ;
$\|A + B\| \le \|A\| + \|B\|$ ;
$\|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|$ .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

[править] Виды матричных норм

m-норма: $\|A\|_m = \max_i \sum_j |a_{ij}|$
l-норма: $\|A\|_l = \max_j \sum_i |a_{ij}|$
Евклидова норма: $\|A\|_E = \sqrt{\sum_{i, j} |a_{ij}|^2}$
Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов): $\|A\|_2 = \max_i \sigma_i (A)$