Линейное пространство
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов 3-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.
Содержание |
[править] Определение
Линейное, или векторное пространство над полем P — это множество L, на котором введены операции
- сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
- умножения на скаляр (т.е. элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствии элемент из , обозначаемый .
При этом удовлетворяются следующие условия:
- , для любых (коммутативность сложения);
- , для любых (ассоциативность сложения);
- существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента), в частности L не пусто;
- для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).
- (ассоциативность умножения на скаляр);
- .
- (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);
- (дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).
Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами.
[править] Простейшие свойства
- Нейтральный элемент является единственным.
- для любого .
- Для любого противоположный элемент является единственным.
- для любого .
- для любых и .
[править] Связанные определения и свойства
- Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество P линейного пространства L такое, что P само является линейным пространством по отношению к определенным в E действиям сложения и умножения на скаляр.
- Конечная сумма вида
-
- называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
- Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
- Элементы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
- Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
- Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.
- Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
- Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
-
- .
[править] Примеры
- Пространство функций образует векторное пространство размерности равной мощности X.
- поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.