Измеримая функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.
Содержание |
[править] Определение
Пусть и суть два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция называется -измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из принадлежит , т.е.
где f − 1(B) означает полный прообраз множества B.
[править] Замечание
- Если и — топологические пространства, и алгебры и явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
[править] Вещественнозначные измеримые функции
Пусть дана функция . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:
- Функция f измерима, если
- .
- Функция f измерима, если
- , таких что , имеем ,
где | a,b | обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.
[править] Примеры
- Пусть и - две копии вещественной прямой вместе с ее борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция называется борелевской.
- Измеримая функция , где Ω - множество элементарных исходов, а - σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом.