Борелевская сигма-алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Обычно в качестве топологического пространства выступает множество вещественных чисел. С борелевской сигма-алгеброй связано понятие борелевской функции.

Именно борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения. Всякое борелевское множество на отрезке является измеримым относительно меры Лебега, но обратное не верно.

[править] Пример измеримого неборелевского множества

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{2}(x+c(x))$ на отрезке [0,1], где c(x) — функция Кантора. На канторовом множестве эта функция равна $\frac{1}{2} x$ , значит, мера образа канторова множества равна $\frac{1}{2}$ , а значит, мера образа его дополнения также равна $\frac{1}{2}$ . Функция f(x) монотонна, значит, она измерима и существует обратная к ней функция. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество A. Тогда образ A при отображении f^-1 будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе A было бы измеримо как прообраз борелевского множетсва при измеримом отображении).