Numeraţia greacă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

După adoptarea alfabetului fenician (sec. IX î.Hr.), în spaţiul geografic în care s-a dezvoltat vechea civilizaţie şi cultură elenă (peninsula balcanică, coasta apuseană a Asiei Mici, insulele Mării Egee şi mai târziu coloniile din sudul Italiei şi Siciliei) au apărut şi au coexistat mai multe sisteme de numeraţie, toate fiind de tipul zecimal aditiv nepoziţional.

Vechea Eladă nu era Grecia unificată de azi, ea fiind fărâmiţată în mici state-oraşe independente şi non-cooperante (polisuri). Fiecare din aceste polisuri avea un sistem monetar şi de măsurare (greutăţi, capacităţi, suprafeţe, distanţe, etc.) propriu. De regulă, ele aveau şi utilizau şi propriul lor sistem de numeraţie. Dominaţia politică şi/sau economică a uneia dintre aceste polisuri atrăgea după sine şi impunerea propriului sistem de numeraţie, acesta devenind dominant pentru o anumită perioadă în zona controlată.

Până la introducerea numeraţiei arabe (sec XV d.Hr.), vechii greci nu au avut simboluri dedicate special cifrelor, aşa cum au avut alte civilizaţii. Ei au folosit în locul acestora (în două moduri diferite) literele alfabetului, fiind creditaţi pentru două invenţii în domeniul numeraţiei: inventarea cifrelor acrofonice şi a cifrelor alfabetice:

• cifrele acrofonice – semnele pentru cifre erau reprezentate prin iniţiala majusculă a numelui lor (în lb. greacă akros înseamnă extrem, cel mai de sus, în vârf, cel mai important iar phone înseamnă voce, sunet, adică, în acest caz, iniţiala cuvântului);
• cifrele alfabetice – semnele folosite erau literele minuscule ale alfabetului grec;

Cele două seturi de cifre au fost folosite de două tipuri de sisteme de numeraţie de concepţie proprie:

• sistemul acrofonic (sub foarte multe variante) care era folosit în special la inscripţionarea monumentelor şi monedelor, în acte de comerţ şi pentru reprezentarea valorilor unităţilor de măsură (greutăţi, capacităţi, suprafeţe, distanţe, etc.);
• sistemul alfabetic folosit în special în limbajul matematic şi în textele scrise din uzul curent şi din administraţie;

Deşi până la introducerea numeraţiei arabe, în numeraţia greacă nu a existat numărul „0”, unii savanţi consideră ca probabilă ipoteza ca simbolul „zero” să fi ajuns la indieni, de la babilonieni prin intermediul grecilor. În mod curios, în multe documente se regăsesc simboluri pe care mulţi le consideră a fi simbolul vidului : zero.

Boyer C. şi U. Merzbach (A History of Mathematics, 1991) pretind că este foarte posibil ca simbolul zero să-şi aibă originea în lumea greacă, probabil în Alexandria, şi ca acesta să fi ajuns în India după ce aici s-a stabilizat sistemul zecimal poziţional. Matematicianul Morris Kline (Oxford, 1972) afirmă că simbolul zero a fost găsit în documente greceşti din Alexandria.

Cuprins 1 Numeraţia acrofonică greacă (sec. V î.Hr. – 95 î.Hr.) 1.1 Sistemul acrofonic atic 1.2 Sistemele acrofonice arhaice (sec. VII î.Hr. – sec. V î.Hr.) 2 Numeraţia alfabetică greacă( sec. VI î.Hr. – sec. XV d.Hr.)

[modifică] Numeraţia acrofonică greacă (sec. V î.Hr. – 95 î.Hr.)

Încă de la sfârşitul perioadei arhaice (700 î.Hr. - 550 î.Hr.), vechii greci utilizau alături de sistemul de numeraţie alfabetic, un sistem zecimal aditiv nepoziţional de concepţie proprie, având aceleaşi caracteristici cu sistemul de numeraţie hieroglific cretan : exista câte un semn special pentru unitate şi pentru primele patru puteri ale bazei de numeraţie (10).

Vechii greci foloseau o serie de simboluri numerice (cunoscute azi sub numele de cifre acrofonice), care au fost clasificate în două categorii:

• caractere acrofonice atice, apărute în Atena şi folosite în toată Atica (regiunea din estul Greciei centrale care includea şi oraşul-cetate Atena); aceste caractere sunt folosite în aşa zisul sistem de numeraţie acrofonic atic sau sistem atic, care este cel mai cunoscut şi mai documentat sistem acrofonic grec (o inscripţie din Atena atestă existenţa acestor caractere acrofonice începând din anul 451/450 î.Hr.);
• caractere acrofonice non-atice (sau arhaice) – caracterele folosite în celelalte polisuri şi zone geografice ale vechii Elade şi care nu pot fi considerate variante ale glifelor atice; aceste caractere sunt folosite în aşa zisele sisteme de numeraţie acrofonice arhaice sau sisteme arhaice, care au fost folosite în majoritatea polisurilor şi a regiunilor controlate de către acestea ;

În perioada clasică, (480 î.Hr. - 323 î.Hr.), dominată de Atena, sistemele acrofonice arhaice încep să fie înlocuite treptat de sistemul acrofonic atic care a fost în uz până în anul 95 î.Hr. când a fost înlocuit de către sistemul alfabetic.

Notă: Sistemul de numeraţie acrofonic grecesc este cunoscut şi sub denumirea de sistem herodian sau herodic - de la numele unui gramatician bizantin, Aelius Herodianus - , căruia i s-a atribuit o lucrare, scrisă în sec. II d.Hr., în care este descris sistemul acrofonic; Karl Menninger a arătat că această denumire nu are sens deoarece lucrarea respectivă a fost scrisă după ieşirea sistemului din uz, şi, pe lângă aceasta, savanţii moderni consideră că lucrarea în cauză nu a fost scrisă de Herodian. (Karl Menninger: "Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers", Göttingen, 1957).

Caracterele acrofonice (atice şi non-atice) constituie subiectul unei recente propuneri de unicod făcute de a T.G.L. (Thesaurus Linguae Graecae).

[modifică] Sistemul acrofonic atic

Sistemul acrofonic atic, apărut în vechea Atenă, era un sistem zecimal hibrid (aditiv şi parţial multiplicativ). El folosea numai 6 simboluri care par a fi cinci litere din alfabetul grec alese după iniţiala numelui grecesc al cifrei respective (excepţie face cifra 1 care este reprezentată printr-o simplă linie verticală „│”, la fel ca în sistemul de numeraţie egiptean sau cretan). Astfel, Γ (vechea formă a literei Π, folosită azi), este iniţiala de la ΠENTE, (pente - cinci); Δ (ΔEKA, deka - zece); H ( HEKATON, hekaton, - o sută); X (XILIO, khilioi – o mie); şi M (MYPIOI, murioi – zece mii):

│ = 1, Γ ( pi ) = 5, Δ ( delta) = 10, Η ( eta ) = 100, Χ( xi )= 1.000, Μ ( mu ) = 10.000

Este interesant de notat că acest sistem este strict zecimal cu excepţia cifrei Γ (5), care provine probabil dintr-un alt sistem grec de numeraţia, mai vechi, în baza cinci.

Pentru reprezentarea numerelor, cifrele atice sunt combinate după principiul aditiv şi parţial după cel multiplicativ. Nici un simbol nu se repetă mai mult de patru ori. Sunt două căi de a combina cele şase simboluri pentru a reprezenta numerele. Primul este că una din cifrele Δ, H, X sau M înscrisă în parte de sus a cifrei Γ (5) reprezintă o multiplicare cu cinci:

Al doilea este acela de a juxtapune şi a aduna cifrele, ca la numeraţia romană. De exemplu HΔΔΓII reprezintă 100+10+10+5+1+1 sau 125. De regulă simbolurile sunt scrise în ordine descrescătoare, dar nu întotdeauna.

[modifică] Sistemele acrofonice arhaice (sec. VII î.Hr. – sec. V î.Hr.)

În aceiaşi perioadă în care grecii din Atica foloseau sistemul acrofonic atic, celelalte polisuri şi-au dezvoltat sisteme de numeraţii proprii bazate pe aceleaşi principii şi având aceleaşi caracteristici cu acesta.

O taxonomie completă, care să cuprindă toate sistemele de numeraţie catalogate a fi de acest tip şi adoptate de diferite polisuri din spaţiul cultural al vechii Grecii este dificil de făcut, dar se poate observa uşor că, datorită funcţiei majore a acestor sisteme (cea de a facilita comerţul), diferenţele structurale dintre ele erau relativ mici (în general se rezumau la variante ale glifelor non-atice folosite şi şi a modului de notare a puterilor bazei).

Urme ale acestor sisteme de numeraţie au fost găsite în mai toate oraşele-cetate din vechea Grecie: în Troizen (polis din sudul peninsulei Balcanice), în peninsula Chalcidică (nordul Greciei), în Chersonesos Tauric (Crimea de azi), în Teba, în Karistos (insula Evia), în Epidaurus, Argos şi Nemeea (estul peninsulei Peleponez), în Orchomenus, Tesphia, Argive, ş.a.

[modifică] Numeraţia alfabetică greacă( sec. VI î.Hr. – sec. XV d.Hr.)

În sec. VI î.Hr., în oraşul-cetate Miletus din provincia antică Ionia, se dezvoltă un sistem de numeraţie zecimal aditiv nepoziţional bazat pe 27 de semne: cele 24 de caractere ale alfabetului Ionian plus încă trei caractere arhaice provenite fie dintr-un alfabetul grec anterior, fie împrumutate dintr-un alfabet al altui popor: digamma, koppa şi sampi.

Istoric: Miletus s fost cel mai important oraş-cetate din vechea colonie greacă Ionia, situată pe coasta vestică a Asiei Minor (o fâşie cu lăţimea de 40 km din sectorul central al coastei vestice a Anatoliei din Turcia zilelor noastre). Din Miletus, sistemul s-a răspândit în întreaga provincie Ionia, şi de aici, în alte zone ale vechii Elade. Între anii 475 î.Hr. - 325 î.Hr. (perioada de dominaţie a Atenei) răspândirea acestui sistem stagnează, în favoarea numeraţiei acrofonice care devine dominantă în această perioadă. În ultima perioadă a sec. IV î.Hr. sistemul alfabetic începe să fie preferat în întreaga lume a vorbitorilor de limbă greacă, şi prin anul 100 î.Hr., o dată cu căderea imperiului Roman şi începutul perioadei bizantine, sistemul alfabetic este adoptat în mod oficial de către Atena, devenind predominant.

În mod uzual, sistemul de numeraţie atic este cunoscut sub mai multe denumiri:

• sistem alfabetic grec: deoarece foloseşte ca cifre literele alfabetului grec;
• sistem ionian : de la alfabetul ionian (alfabetul grec de astăzi este identic cu cel folosit în timpul sec. VIII î.Hr. în Ionia);
• sistem milesian: de la numele oraşului-cetate Miletus unde a apărut;
• sistem alexandrin: după aşa numită perioadă alexandrină din istoria Greciei (sec. IV î.Hr. – V d.Hr.)

Descrierea sistemului atic. Fiecărei litere a alfabetului i s-a asociat o cifră şi se utilizau primele nouă litere (1,2,…,9) pentru unităţile simple, următoarele nouă (10,20,...,90) pentru zeci şi ultimile nouă (100,200,… ,900) pentru sute. Celor trei caractere dispărute din alfabetul grec clasic le-au fost asociate cifrele 6 (digamma), 90 ( goppa) şi 900 (sampi).

Pentru a se putea cunoaşte valoarea reprezentată de un număr, sistemul alfabetic folosea (suplimentar faţă de cele 27 de caractere) şi alte semne complementare (simboluri, indici inferiori sau superiori, etc.).

Sistemul alfabetic operează conform principiului aditiv, valorile numerice ale fiecărei litere dintr-un număr sunt adunată împreună pentru a forma un total (de ex. 241 se scrie σμα (200 + 40 + 1) iar 109 se scrie ρθ (100 + 9).

Cifrele erau scrise de obicei în ordine descrescătoare, dar aceasta nu constituia o regulă. Într-un text, pentru a le putea distinge de cuvinte, numerele se supraliniau, sau, mai rar, se subliniau cu un scurt şir de puncte.

Reprezentarea numerelor mari. Pentru a nu risca confuzii, grecii au ales ca numerele cuprinse în intervalul [1.000 - 9.000] să fie scrise printr-o cifră din intervalul [1 – 9] precedată la stânga de un apostrof [' ] sau de un soi de virgulă [, ]; prezenţa acestor diacritice desemna o multiplicare cu 1.000 :

'γσζ= 3x1.000+ 200 +7 = 3.287

,ßδ= 2 x 1.000+4 = 2004

Pentru numerele mai mari de 10.000 se folosea simbolul M, care, pus la dreapta unui număr indica că acesta trebuie multiplicat cu 10.000 :

Mε = 1.000 x 5 = 50.000

Mακ∙σπζ= [10.000 x(1+20)] + 200+80+7 = 120.287

Existau şi variante ale acestei notaţii. Numerele de mai sus puteau fi scrise şi astfel:

M^ε= 50.000

M^ακ σπζ= 120.287

Reprezentarea fracţiilor. Sistemul era rezonabil pentru numere întregi, dar foarte inadecvat pentru scrierea fracţiilor, notaţia acestora dând naştere la multe ambiguităţi. Un accent acut [ ' ] plasat după număr reprezenta o fracţie unitară:

ß'= 1/2

μß'= 1/42

Dar acest ultim exemplu poate să însemne de asemenea şi 40 ½ . Fracţiile complexe puteau fi scrise în mod similar, dar pentru citirea lor corectă, contextul era esenţial. Numărătorul era supraliniat iar numitorul era urmat de semnul diacritic:

να πδ' = 51/84 (unde να era supraliniat)

Mai mulţi învăţaţi greci au produs variante ale acestei notaţii, Arhimede reuşind să exprime un număr de ordinul 10⁶⁴ (numărul total de fire de nisip pe care poate să le conţină o sferă care cuprinde lumea). Sistemul a avut difuzare limitată, fiind complet inoperant pentru calcule scrise, ceea ce i-a condamnat pe greci la folosirea abacului pentru executarea celor mai simple calcule.

Grecii contemporani au păstrat această notaţie pe care o folosesc pentru reprezentarea numerelor ordinale (prima, a doua, a treia, etc.) şi în alte ocazii (la fel cum cifrele romane sunt folosite azi la noi). Pentru numerele cardinale sunt folosite cifrele arabe.