Zbiór Bernsteina

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

W topologii i teorii mnogości, zbiory Bernsteina to bardzo nieregularne podzbiory przestrzeni polskiej.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Konstrukcja
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Powiemy, że podzbiór $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina w $X$ jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X$ mamy, że

$B\cap Z\neq \emptyset$ oraz $B\setminus Z\neq \emptyset$ .

[edytuj] Własności

Niech $(X,τ)$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską.

Przypuśćmy, że $Z\subseteq X$ . Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a)

Z

jest zbiorem Bernsteina,

(b) ani

Z

ani $X\setminus Z$ nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru

X

Z

jak i $X\setminus Z$ ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem

X

Jeśli $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina, to

(i) $X\setminus Z$ jest zbiorem Bernsteina,

(ii)

Z

nie ma własności Baire'a,

(iii)

Z

jest niemierzalny względem dowolnej miary Radona na

X

[edytuj] Konstrukcja

Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia AC. Np przy założeniu aksjomatu determinacji nie istnieją takie zbiory, co wynika z wyników polskich matematyków Jana Mycielskiego, Hugo Steinhuasa i Stanisława Świerczkowskiego.^[1]^[2] Poniżej zakładamy więc aksjomat wyboru, zgodnie z którym na każdym zbiorze można określić dobry porządek.

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Wówczas $|X|=2^{\aleph_0}$ a także moc rodziny wszystkich borelowskich podzbiorów $X$ jest $2^{\aleph_0}$ . Wobec naszych założeń możemy wybrać listę $\langle B_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\rangle$ wszystkich nieprzeliczalnych borelowskich podzbiorów $X$ . (Gdzie $2^{\aleph_0}$ jest traktowane jako liczba porządkowa.) Teraz przez indukcję ze względu na $\alpha<2^{\aleph_0}$ wybieramy punkty $x_\alpha,y_\alpha\in X$ tak, że

(1)_α $x_\alpha\neq y_\alpha$ ,

(2)_α $x_\alpha,y_\alpha\in B_\alpha \setminus \{x_\beta,y_\beta:\beta<\alpha\}$ .

Wybór jest możliwy, ponieważ na kroku $\alpha<2^{\aleph_0}$ wiemy, że zbiór $B α$ jest nieprzeliczalny a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum, natomiast zbiór ${x β, y β :β < α}$ ma moc mniejszą niż continuum.

Po zakończeniu powyższego procesu, otrzymujemy rozłączne zbiory $\{x_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\}$ i $\{y_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\}$ . Każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.

[edytuj] Bibliografia

↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962) 1-3
↑ J. Mycielski, S. Świerczkowski. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fundamenta Mathematicae. 54 (1964) 67-71.