Trójkąt Sierpińskiego
Z Wikipedii
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Otrzymujemy go w następujący sposób: w trójkącie równobocznym łączymy środki krawędzi, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwamy, a wobec trzech pozostałych trójkątów powtarzamy tę samą operację, to jest dzielimy każdy na cztery mniejsze trójkąty, usuwamy środkowy, a wobec pozostałych powtarzamy i tak dalej.
Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trzy punkty A, B i C tak, żeby nie leżały na jednej prostej. Wybierzmy dowolny punkt D, leżący wewnątrz trójkąta ABC (Możemy wybrać także punkt spoza wnętrza trójkąta, wtedy kilka pierwszych punktów nie będzie należała do Trójkąta Sierpińskiego). Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D.
Można wybrać jako początkowe D dowolny punkt trójkąta lub nawet płaszczyzny. Wtedy jednak nie uzyskamy trójkąta Sierpińskiego, a jedynie ciąg punktów zbieżny do trójkąta Sierpińskiego, czyli taki, że dla dowolnego ε>0 istnieje takie N, że dla każdego n>N odległość a(n) od trójkąta Sierpińskiego jest nie większa niż ε. Liczba N zależy od ε oraz od początkowego D.
Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ln 3/ln 2 = 1.585...
Trójkąt Sierpińskiego można utworzyć z trójkąta Pascala, dla każdego elementu biorąc resztę z dzielenia przez 2 (wtedy 0 odpowiada za kawałek "dziury"). Jak wiadomo każdy element znajdujący się na pozycji (n,k) w trójkącie Pascala wynosi 
. Można obliczyć resztę z dzielenia przez 2 stosując wzór:
gdzie AND i NOT są operatorami działającymi na bitach.
