Triangle de Sierpiński

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Le triangle de Sierpiński, aussi appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński, est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński.

Un algorithme pour obtenir des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński peut s'écrire de la manière suivante:

1. On commence à partir d'un triangle quelconque du plan. Le triangle canonique de Sierpiński se construit à partir d'un triangle équilatéral ayant une base parallèle à l'axe des abscisses.
2. on trace les trois segments entre les trois milieux des côtés du triangle, ce qui délimite 4 nouveaux triangles, et on enlève le petit triangle central. On obtient trois petits triangles qui se touchent deux à deux par un sommet, dont les longueurs des côtés sont la moitié de celles du triangle de départ (obtenue par une homothétie de rapport 1/2), et dont la surface est divisée par 4.
3. on répète la deuxième étape avec chacun des petits triangles obtenus. La véritable fractale correspond à ce que l'on obtiendrait après un nombre infini d'itérations ou bien de récursions.

À chaque étape, la surface de l'ensemble diminue, elle est multipliée par 3/4.

Avec cette méthode le nombre de triangles à traiter se multiplie de manière exponentielle (x 3 à chaque étape : 1 puis 3 puis 9 puis 27 etc. : 3ⁿ après la n^ième étape). On remarque qu'on peut obtenir la même chose par une méthode équivalente (mais plus facile à formaliser et calculer) : on applique trois homothéties, de rapport 1/2 et de centre chacun des sommets de la figure, et on trace la nouvelle figure comme union des trois résultats. De cette façon, à chaque étape on n'a toujours que trois opérations à faire.

En outre, on peut caractériser le triangle de Sierpiński comme étant l'ensemble laissé fixe par cette transformation, qu'on peut noter h_a U h_b U h_c, où h_x l'homothétie de rapport 1/2 de centre x, et où a, b et c sont les sommets du triangle initial.

Cela implique que si on applique l'itération infinie de l'opération h_a U h_b U h_c à un ensemble fini quelconque, et a,b et c trois points distincts, on obtient (les images « convergent » vers) le triangle de Sierpiński de sommets a,b,c. On dit que le triangle de Sierpiński est un attracteur de trois homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets.

Une autre propriété interessante se révèle si on considère un point quelconque. Ce point constitue un ensemble auquel on peut appliquer les opérations h_a, h_b et h_c. Ainsi, la suite des points obtenus forment un ensemble dense dans le triangle de Sierpiński. On peut même se contenter de n'appliquer qu'une des opérations h_a, h_b et h_c, choisi aléatoirement à chaque étape. Ainsi l'algorithme suivant génèrera des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński :

On considère un point pris au hasard v₁. On pose v_{n + 1}= 1/2 (v_n + p_n), où p_n est un point aléatoire égal à a, b ou c. On place les points v₁ jusqu'à v_∞. Si le point initial v₁ est un point du triangle de Sierpiński, alors tous les points v_n appartiennent au triangle de Sierpinski. Si le premier point v₁ se trouve dans le périmètre du triangle et n'est pas un point du triangle de Sierpiński, alors aucun des points v_n n'appartient au triangle de Sierpiński, cependant la suite des points v_n converge vers un point du triangle de Sierpiński. Même si v₁ est hors du triangle, alors la probabilité qu'il existe un point de la suite à partir duquel tous les points sont dans le triangle a,b,c, est égale à 1, et ils seront alors soit tous dans le triangle de Sierpiński, soit tous en dehors mais en s'en rapprochant aussi arbitrairement que souhaité.

Le triangle de Sierpiński a une dimension fractale ou une dimension de Hausdorff égale à log3 / log2, égal à environ 1,585, ce qui vient du fait qu'il est la réunion de trois copies de lui-même, chacune étant réduite d'un facteur 1/2.

Si on le construit à partir d'un triangle de Pascal avec 2ⁿ lignes et que l'on colore les nombres pairs en blanc et les nombres impairs en noir, alors le résultat est une approximation au triangle de Sierpiński.

Voir aussi :

• Le tapis de Sierpiński, une construction similaire de rectangles
• Le triangle de Sierpiński/programme, programmes en langages C et Java pour créer une telle fractale.
• Liste de fractales par dimension de Hausdorff

[modifier] Liens externes

• (en) Sierpinski's Triangle
• (en) Xscreensaver contient des modules pour afficher des versions animées du triangle de Sierpiński en deux et en trois dimensions, pour X Windows.