Metody Newtona-Cotesa
Z Wikipedii
W analizie numerycznej wzory Newtona-Cotesa są zbiorem metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.
Przyjmujemy, że wartość funkcji f jest znana w równooddalonych punktach xi, dla i = 0, ..., n. Dla punktów oddalonych od siebie o inne odległości ma zastowanie inna klasa wzorów, kwadratura Gaussowska.
Jeżeli są równoodległymi węzłami interpolacji funkcji f(x) (tj. xi są elementami dziedziny f, dla których znana jest wartość f(xi) = yi), to całkę:
można aproksymować całką:
gdzie Ln(x)dx jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a stopnia co najwyżej n, przybliżającym funkcję f(x) w węzłach interpolacyjii, tj.:
Niech oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.
Wprowadzając zmienną t taką, że x=a+th można zapisać:
Wtedy:
- ,
- dla a = x0 t=0
- dla x1 t=1
- dla b = xn t=n
- dx = (x)' = 1
Zmieniając zmienną, oraz granice całkowania otrzymuje się:
Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla n+1 równoodległych węzłów przyjmuje postać:
Przyjmując za (nazywane współczynnikami kwadratury Newtona-Cortesa), otrzymuje się:
- Ai = An − i
- Dowód:
- Niech v = n − t.
- Wtedy:
- dt = − dv
- Odwrócenie granic całkowania:
- Niech (n − j) = v'.
- Po wyciągnieciu (-1) przed iloczyn i mianownik:
Definiuje się dwa typy wzorów Newtona-Cotesa:
- zamknięte, które nie wykorzystują wartości funkcji w skrajnych punktach, oraz
- otwarte, wykorzystujące wszystkie wartości funkcji.
Otwarty wzór Newtona-Cotesa rzędu n:
gdzie xi = h i + x0, z h (nazywanym rozmiarem kroku) równym (xn - x0)/n oraz wi są wagami. Wagi można wyprowadzić z wielomianów bazowych Lagrange'a. To oznacza, że zależą tylko od xi a nie od funkcji f. L(x) wielomianem interpolacji w postaci Lagrange'a dla punktów (x0, f(x0) ),..,(xn, f(xn) )
Zamknięty wzór Newtona-Cotesa rzędu n:
wagi znajdujemy w sposób analogiczny do powyższego.
- Możemy skonstruować wzór Newtona-Cotesa dowolnego rzędu.
- Niektóre wzory niskich rzędów mają swoje tradycyjne nazwy.
- W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamkniętego.
- Notacja fi oznacza f(xi).
Rząd | Tradycyjna nazwa | Wzór | Błąd |
1 | wzór trapezów | ||
2 | wzór Simpsona | ||
3 | reguła 3/8 | ||
4 | wzór Boole'a |
Wykładnik o kroku h w wyrazie błędu pokazuje szybkość zmniejszania się błędu przybliżenia. Pochodna f w wyrazie błędu pokazuje który wielomian może być scałkowany dokładnie (tzn. z błędem równym 0). Zauważ, że pochodna f w wyrazie błędu wzrasta o 2 dla każdego innego wzoru. Liczba ξ zwiera się pomiędzy a i b.
W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamkniętego.
Rząd | Tradycyjna nazwa | Wzór | Błąd |
0 | wzór prostokątów | ||
1 | |||
2 | |||
3 |
Zwróć uwagę, że aby wzór dawał dobre przybliżenie, krok h musi być mały, co oznacza, że przedział całkowania [a,b] również musi być mały, co zazwyczaj nie jest spełnione. Z tego powodu dzielimy przedział na mniejsze podprzedziały i stosujemy metodę Newtona-Cotesa na każdym z tych podprzedziałów a następnie dodając wyniki. Jest to metoda złożona.
[edytuj] Literatura
- J.i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Warszawa, 1981. (See Section 4.5)
- M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
- George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
- William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
- Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)