Całkowanie numeryczne

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Całkowanie numeryczne to przybliżone obliczanie całek oznaczonych. Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej całkowanej funkcji w kilku punktach.

Całkowanie numeryczne zalicza się do metod numerycznych.

Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint rule):

$\int_a^b f(x) dx \approx (b-a) f\left( \frac {a+b} 2 \right)$

Jeśli funkcja $f (x)$ zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale całkowania, reguła taka da dobre przybliżenie całki.

Żeby uzyskać dokładniejsze przybliżenie można podzielić przedział całkowania na niewielkie fragmenty i w każdym z nich osobno oszacować całkę.

[edytuj] Przykład

Spróbujmy scałkować funkcję $cos(x)$ na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych prawidłowy wynik wynosi:

$\int_0^1 \cos(x) dx = \sin(1) - \sin(0) = 0.8414709848$

Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:

$\int_0^1 \cos(x) dx \approx (1-0) \cos\left(\frac 1 2\right) = 0.8775825619$

co daje błąd 0.0361115771 (błąd względny 4.3%) – niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.

Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:

$\int_0^1 \cos(x) dx = \int_0^{1/2} \cos(x) dx + \int_{1/2}^1 \cos(x) dx \approx \left(\frac 1 2 - 0\right) \cos\left(\frac 1 4\right) + \left(1 - \frac 1 2\right) \cos\left(\frac 3 4\right) = 0.8503006452$

Z błędem bezwzględnym 0.0088296604 lub względnym 1%.

Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów możemy uzyskać lepsze przybliżenie:

Ilość części	Wynik	Błąd
1	0.8775825619	0.0361115771
2	0.8503006452	0.0088296604
4	0.8436663168	0.0021953320
8	0.8420190672	0.0005480824

[edytuj] Przykład 2

Całkowanie numeryczne przebiegów czasowych. Spróbujmy scałkować spróbkowany przebieg $sin(t)$ na przedziale od 0 do $4 * π$ [s]. Załóżmy, że częstotliwość próbkowania $f p$ przebiegu wynosi $f p$ [Hz].

Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału $t_p=\frac{1}{fp}=t_{i+1}-t_i$ wynosi 1. Niech $X i (t)$ oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz $X i$ można obliczyć jako sumę częściową:

$X_i=\sum_{n=0}^{i} x_i(t)t_p$

Im mniejsza średnica podziału (wyższa częstotliwość próbkowania), tym wynik dokładniejszy. Uwaga: po scałkowaniu amplituda przebiegu wzrasta, tym bardziej, im mniejsza średnica podziału.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../c/a/%C5%82/Ca%C5%82kowanie_numeryczne.html"

Kategoria: Metody numeryczne

Całkowanie numeryczne

Z Wikipedii

[edytuj] Przykład

[edytuj] Przykład 2

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach