Linia geodezyjna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjna – lokalnie najkrótsza linia w pewnej przestrzeni.

Jeśli przestrzeń ta jest płaska (np. płaszczyzna, euklidesowa przestrzeń trójwymiarowa itp.), to geodezyjne są prostymi.

W wypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie, geodezyjne są nietrywialnymi krzywymi, np. na kuli są to fragmenty okręgów kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.

Linie najkrótsze $x λ (s)$ łączące dwa punkty (linie geodezyjne) nie są już liniami prostymi w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Spełniają one równanie

$\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0$

gdzie $\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}$ jest symbolem Christoffela

$\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda \rho}(\partial_{\mu}g_{\rho \nu}+\partial_{\nu}g_{\rho \mu}-\partial_{\rho}g_{\mu \nu})$

Równanie to wynika z ekstremum funkcjonału

$S[x(s)]=mc\int ds =mc \int ds \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}}$

który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii geodezyjnej.

Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z

g μν = d i a g (1, - 1, - 1, - 1)

równanie linii geodezyjnej

$\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}=0$

Wynika stąd ruch po prostej. Dla przykładu na sferze (D=2 wymiarowej $(y 1) 2 + (y 2) 2 + (y 3) 2 = r 2$ ) wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne $y 1 = r sin(θ)sin(φ), y 1 = r sin(θ)cos(φ), y 1 = r cos(θ)$ , wtedy $x i = {θ,φ}$ (i=1,2). Element długości

d s 2 = d l 2 = (d y 1) 2 + (d y 2) 2 + (d y 3) 2 + = g i, j d x i d x j = r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 (θ) d φ 2

Tensor metryczny jest bardzo prosty

$g_{i,j}=\begin{pmatrix}r^2&0\\0&r^2 \sin^2(\theta)\end{pmatrix}.$

łatwo policzyć wszystkie składowe symboli Christoffela i rozwiązać równanie linii geodezyjnej. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.

W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne, tensor metryczny ma postać

$g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}e^{\nu(r)}&0&0&0\\0&-e^{\lambda(r)}&0&0\\0&0&-r^2 &0\\0&0&0&-r^2 \sin^2 (\theta)\end{pmatrix}.$

Metryka ta daje np.

$\Gamma^{1}_{0 0}=\frac{1}{2}\frac{d\nu}{dr}e^{\nu -\lambda}$

W polu tym potencjał grawitacyjny jest równy

$g_{00}=e^{\nu(r)}=1+\frac{2 \varphi(r)}{c^2}$

gdzie dla rozwiązania Karla Schwarzschilda (czarna dziura)

$\varphi(r)=-\frac{r_g c^2}{2}\frac{1}{r}=-G\frac{M}{r}$

Interwał czasoprzestrzenny ds definiuje czas własny $d s = c d τ$ . W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, $d τ = d t$ i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona