Geodetica

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La geodetica è la generalizzazione della linea retta dello spazio euclideo per gli "spazi curvi". La definizione di geodetica dipende appunto dal tipo di "spazio curvo" considerato. Se lo spazio ammette in modo naturale una metrica, allora la geodetica è definita come una curva che è localmente il percorso più breve tra due punti. Sono geodetiche, ad esempio, le circonferenze massime sulla superficie della sfera. Tra queste vi sono l'equatore e i meridiani.

[modifica] Introduzione

La traiettoria più breve tra due punti su di uno spazio curvo può essere trovata scrivendo l'equazione della lunghezza di una curva, e minimizzando poi tale lunghezza tramite tecniche standard di calcolo infinitesimale e teoria delle equazioni differenziali. Equivalentemente, si può definire un'altra quantità, detta l'energia della curva; minimizzare l'energia conduce alla stessa equazione della geodetica. Intuitivamente, si può comprendere la seconda formulazione notando che un elastico teso fra due punti contrarrà la propria lunghezza, e così facendo minimizzerà la propria energia; la forma risultante dell'elastico sarà la geodetica.

Le geodetiche si incontrano abitualmente nello studio della geometria riemanniana, e più in generale di ogni geometria metrica. In fisica le geodetiche descrivono il moto di un punto materiale; in particolare, la traiettoria disegnata da un sasso che cade, un satellite in orbita, o la forma di una orbita planetaria sono tutti descritti da geodetiche nella teoria della relatività generale. Più in generale, il tema della Geometria sub-Riemanniana si adatta alle traiettorie che gli oggetti possono disegnare quando non sono liberi, e il loro movimento è vincolato in varie maniere.

Il termine "geodetica" deriva da geodesia, la scienza della misurazione delle dimensioni e della forma del globo terrestre; nel suo significato originale, una geodetica era il cammino più breve tra due punti sulla superficie della terra, ossia un arco di cerchio massimo.

[modifica] La geodetica e la relatività generale

Nel suo libro "La teoria della relatività", Einstein, il primo scienziato ad aver utilizzato le geodetiche in fisica, dà la seguente definizione:

$\delta {{\int_{P_1}^{P_2} ds}} = 0$ .

Essa rappresenta una linea (non un'area) tracciata fra due punti $P 1$ e $P 2$ del continuo quadridimensionale (tre dimensioni dello spazio e una del tempo).

Le curve che passano per detti punti sono infinitamente vicine alla geodetica. Esprimendole in forma parametrica e con altre 2 pagine circa di passaggi, Einstein deduce l'equazione della geodetica:

d 2 x τ / d s 2 + τ,μ,ν * d x μ / d s * d x ν / d s = 0

Secondo la relatività ristretta, un corpo non soggetto a forze esterno si muove di moto traslatorio rettilineo uniforme. Ciò è anche il principio di relatività galileiana, cui Einstein aggiunse un'informazione: è valido soltanto in assenza di campo gravitazionale (ciò che caratterizza le regioni dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta).

In un sistema di riferimento collocato in una regione dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta (in assenza di campo gravitazionale), l'equazione che descrive un moto rettilineo uniforme è una geodetica.

Poiché la geodetica è definita indipendentemente dal sistema di coordinate, e quindi anche l'equazione della geodetica, tale legge vale per un sistema di riferimento arbitrario.

Per generalizzare, abbiamo dovuto anticipare che relatività ristretta significa assenza di campo gravitazionale. L'equazione del moto del punto materiale diventa:

d 2 x τ / d s 2 = Γ μ,ν,τ * d x μ / d s * d x ν / d s = 0

Abbiamo posto:

$Γ μ,ν,τ = - τ,μ,ν$ . Imporre che il generico tensore di Christoffel, un ente matematico, è uguale alle componenti del campo gravitazionale $Γ μ,ν,τ$ , è un'interpretazione fisica, che Einstein basa su un esperimento mentale e un ragionamento discorsivo.

Bisogna ricordare l'elemento lineare $d s$ (v.relatività generale) misura qualsiasi variazione nello spazio e nel tempo. Se $d x$ è una generica coordinata, il fatto che la derivata seconda rispetto all'elemento lineare è nulla significa che il corpo si muove nello spazio e nel tempo secondo incrementi costanti, che né crescono né diminuiscono.

L'annullamento della derivata seconda significa che il moto non subisce variazioni nello spazio (è rettilineo) e nel tempo (uniforme). Questo avviene nelle regioni di spazio tempo in cui le componenti gravitazionali sono nulle, ovvero

$\Gamma_{\mu, \nu, \tau} = \begin{bmatrix}(-1)&0&0&0\\0&(-1)&0&0\\0&0&(-1)&0\\0&0&0&(+1)\end{bmatrix}$ .

Bisogna notare che la componente temporale $g 4,4$ ha segno opposto rispetto alle componenti spaziali, come detto in commento all'equazione per mmisurare il $d s$ .

Einstein commenta a proposito: <<le componenti del campo gravitazionale sono le quantità che caratterizzano lo scostamento del moto rettilineo uniforme>>. Non bisogna confondere la presenza di una forza gravitazionale (pssibile anche in un moto rettilineo) dall'azione di un campo gravitazionale, che richiede una variazione di questa forza. L'equazione contiene le derivate prime delle componenti della gravità.

Mediante una semplice <<sostituzione comunque scelta>>, lo stesso moto del punto materiale libero, osservato da un altro sistema di riferimento, diviene curvilineo non uniforme, con una legge non più dipendente dalla natura fisica del punto materiale che si muove. La legge del moto (rettilieneo uniforme quando le componenti sono costanti) cambia radicalmente nelle nuove coordinate. Il moto rettilineo uniforme dipendente dalle proprietà della massa, diviene un moto curvilineo non uniforme indipendentre dalle proprietà fisiche dell'oggetto in movimento.

Nel caso più generale, quindi, il punto in movimento può essere trattato come una generica massa, in quanto il moto non dipende dal materiale di cui il corpo è fatto, o da altre proprietà chimiche.

L'effetto di un nuovo camppo gravitazionale e di un semplice cambio di coordinate, matematicamente sono gli stessi: la distorsione del moto uniforme è visibile alll'osservatore e misurabile in entrambi i casi, sebbene nel secondo non ci sia alcuna variazione nè del corpo nè delle forze a cui è soggetto. Il cambio di coordinate, sebbene muti radicalmente le leggi del moto, porta egualmente a delle conclusioni coerenti e non contradditorie, ed è perciò una trasformazione tranquillamente praticata se opportuna; dato che la reale presenza di una forza fisica genera le stesse conseguenze teoriche del cambio di coordinate, l'introduzione di una forza apparente è una trasfromazione altrettanto lecita. Il risultato, per nulla aovvio, è che il cambio di coordinate, che è una trasformazione che muta una costruzione geometrica e mentale senza toccare la realtà fisica degli oggetti e delle forze in gioco, sortisce gli stessi effetti di una variazione della realtà fisica che si deve descrivere. La nozione di forza apparente estende al modulo del moto (velocità e accelerazione) il principio di relatività, che in precedenza faceva dipendere dal sistema di riferimento solamente verso e direzione.

In contemporanea, le componenti della matrice diventano funzioni dello spazio-tempo; essendo delle variabili, descrivono un campo gravitazionale.

La deformazione del moto unifome viene, quindi, interpretato come un effetto della gravitazione, <<che occupa una posizione eccezionale nei confronti delle rimanenti forze, e soprattutto delle forze elettromagnetiche, in quanto le 10 funzioni $g μ,ν$ che rappresentano il campo gravitazionale determinano contemporaneamente le proprietà dello spazio quadridimensionale>>.

Quindi, tali componenti sembrano più importanti di ogni altra forza della fisica, mentre la componente temporale appare la più rilevante di queste.

Quando le componenti sono costanti, gli effetti della gravitazione vengono trascurati( ciò non significa affatto che il moto avvenga in assenza di una forza di gravità misurabile). Per dedurre la formula di Newton, che considera tali effetti, è necessario rilasciare le ipotesi e considerare un sistema di riferimento in cui le componenti variano; per un rilascio graduale, si considerano sistemi in cui variano di piccole quantità, e che all'infinito spaziale tendono ancora ai valori della matrice. <<In altre parole stiamo esaminando campi gravitazionali, generati esclusivamente da materia che si trova al finito>>, come quelli della teoria newtoniana.

Con riferimento all'equazione precedente, tre delle componenti $d x μ / d s$ possono assumere qualsiasi valore, raggiungendo qualunque velocità adimensionale $γ$ p purché inferiore alla velocità della luce (ossia $γ < 1$ ). Nel sistema di riferimento aodttato in tutta la relatività, la velocità è misurata da un numero puro, che vale 1 alla velocità della luce, che è la massima raggiugibile (quindi varia tra 0 e 1). Oltreché per una comodità di calcolo, la velocità è espressa come percentuale della velocità della luce, perché questa l'unica costante il cui valore di velocità resta invariato in qualunque sistema di riferimento.

γ = s q r t ([d x 1 / d x 4] 2 + [d x 2 / d x 4] 2 + [d x 3 / d x 4] 2])

<<Qualora ci si limiti al caso che quasi esclusivamente si presenta all'esperienza, in cui $γ$ è piccolo rispetto alla velocità della luce>>, queste tre componenti sono infinitesimi del secondo ordine (hanno esponente pari a 2), trascurabili in prima aprossimazione (vengono eliminati dal calcolo).

Nello studio del differenziale si è soliti iniziare dallo studio del differenziale primo. Limitandosi ai termini di ordine più basso, si ottiene inizialmente un'analisi più semplice, che considera meno termini. Adottare il punto di vista della prima approssimazione, significa troncare lo sviluppo al primo ordine (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo).

A questo punto, la sola componente rilevante è quella temporale. Bisogna notare che in queste righe di ipotesi, Einstein sta presentando la relatività come una generalizzazione alle alte velocità della gravitazione di Newton, che restava confinata all'esperienza quotidiana in cui le velocità sono molto minori della luce. Questo significa imporre $γ < < 1$ , per cui i componenti di $γ$ divengono degli infinitesimi.

L'equazione del moto del punto libero si riduce a:

$d^{ 2}x^{ \tau} /dt^{ 2} = \Gamma_{4 , 4}^{ \tau}$ ,

avendo posto (ed essendosi ridotto) $d s = d x 4 = d t$ .

Sempre nell'ipotesi di campo gravitazionale quasi-statico, ossia generato da un moto di materia lento rispetto alla velocità della luce, le derivate miste (del tempo rispetto alle coordinate spaziali) sono trascurabili, l'equazione del moto diviene: