Lematy Borela-Cantelliego
Z Wikipedii
Lematy Borela-Cantelliego to lematy (wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb) dotyczące ciągów zdarzeń losowych.
Niech A1, A2, A3, ... będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni próbek.
Spis treści |
[edytuj] Pierwszy lemat Borela-Cantelliego
Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń A1, A2, A3, ... jest zbieżny, tj.
wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A1, A2, A3, ... wynosi 0.
[edytuj] Drugi lemat Borela-Cantelliego
Jeśli zdarzenia Ai są niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.
wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń A1, A2, A3, ... wynosi 1.
[edytuj] Przykład
Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech Ak oznacza zdarzenie polegające na tym, że k-ty, k+1 i k+2 rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia A1, A2, A3, ..., An, ... nie są niezależne, ale zdarzenia A1, A4, A7, ... A3n+1, ... są. Każde zdarzenie Ak ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantelliego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.