Hilberts hotell
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hilberts Hotell er et paradoks som om omhandler et hypotetisk hotell som matematikeren David Hilbert har funnet på for å kunne illustrere uendelighetsbegrepet.
Tenk et hotell med uendelig mange rom. En dag kommer det en gjest inn og sier at alle rommene er opptatte. Resepsjonisten tenker litt over problemet, og svarer med å be alle gjestene flytte et rom oppover. Altså flyttet personen fra rom nr.1 til rom nr 2, fra nr.2 til nr 3. nr. n til nr. n +1 osv... Slik fikk den siste gjesten plass i rom nr. 1, og Hilbert kunne derfor si at uendelig + 1 = uendelig.
Neste dag fikk resepsjonisten et nytt problem. Det kom inn uendelig mange gjester, hvordan skulle han nå få plass til alle gjestene? Han tenkte litt på saken og fant ut at hvis alle gjestene flyttet til det romnummeret som var dobbelt av sitt eget, ville det gå bra. Rom nr 1 flyttet til 2. 2 til 4. 3 til 6. 4 til 8. n til 2n. Osv. Slik klarte han å få dobbelt så mange ledige rom, og Hilbert kunne derfor si at 2*uendelig = uendelig.
[rediger] Kardinalitetsbegrepet
Eksempelet med Hilberts hotell gir sluttsatsen at mengden av naturlige tall, mengden av heltall og mengden av rasjonelle tall er like mange; de har samme kardinalitet.
Se også kartesisk produkt.
