Verdubbeling van de kubus

Verdubbeling van de kubus is een van de drie beroemdste geometrische problemen die onoplosbaar zijn met de "liniaal-en-passer" constructie. Het was bekend bij Griekse mathematici en vroeger nog bij Indische mathematici.

De kubus verdubbelen betekent om bij een gegeven kubus met zijde s en volume V een nieuwe, grotere, kubus te construeren met volume 2V en daardoor zijde $s\sqrt[3]{2}$ . Deze constructie is met alleen een passer en een liniaal niet uitvoerbaar.

[bewerk] Geschiedenis

Volgens de legende consulteerden de burgers van Athene het orakel van Apollo in Delos in 430 v. Chr. om te horen hoe zij de pest, die een vernietigende werking had op hun land, moesten bestrijden. Het orakel antwoordde dat, om de pest te stoppen, zij hun altaar in grootte moesten verdubbelen. De Atheners verdubbelden plichtsgestrouw elke zijde van het altaar, en de pest verslechterde! De correcte interpretatie was dat zij het volume van het altaar moesten verdubbelen, niet slechts de lengte van de zijdes; dit bleek een zeer moeilijk oplosbaar probleem. Ten gevolge van deze legende wordt het probleem vaak het Delische probleem genoemd.

Valse aanspraken op het verdubbelen van een kubus met passer en liniaal komen veel voor in pseudo-mathematische literatuur.

Ook al is het verdubbelen van een kubus onoplosbaar in het vlak met de passer en liniaal, de oude Griekse mathematicus Archytas lukte het het probleem op te lossen in de 4e eeuw v. Chr. met behulp van een geometrische constructie in drie dimensies, aldus een zeker punt bepalend als de doorsnede van de drie rotatievlakken...[1][2][3].

[bewerk] Oplossing

Een illustratie van de passer en liniaal methode

Er zijn veel manieren om $\sqrt[3]{2}$ te construeren met behulp van gereedschappen anders dan de passer en liniaal. In feite kunnen enkele van deze gereedschappen zelf gemaakt worden met een passer en liniaal, maar moeten uit een blad papier geknipt worden voordat ze gebruikt kunnen worden. Bijvoorbeeld, maak een liniaal met een enkele afstandseenheid erop gemarkeerd. maak een gelijkzijdige driehoek ABC met zijde lengte 1, en verleng zijde $\overline{AB}$ met één eenheid om het lijnsegment $\overline{ABD}$ te vormen. Verleng zijde $\overline{BC}$ om de straal $\overrightarrow{BCE}$ te vormen, en teken de straal $\overrightarrow{DCF}$ . Bepaal met de liniaal de punten G op $\overline{DCF}$ en H op $\overline{DCF}$ , met onderlinge afstand 1, die met het punt A op één lijn liggen. De afstand AG is dan precies $\sqrt[3]{2}$ .