Pseudo-ellips

Een pseudo-ellips is een wiskundige figuur met de eigenschap dat het product van de afstand van een punt P tot het eerste brandpunt F met de afstand van P tot het tweede brandpunt F' een constante is, namelijk 2a.

Als de coördinaten van het eerste en tweede brandpunt respectievelijk F(-c,0) en F'(c,0) zijn dan kan de vergelijking van de pseudo-ellips als volgt geschreven worden:

[bewerk] Relatie tussen de pseudo-ellips en de ellips

Op de afbeelding aan de rechterkant kan je de treffende gelijkenis tussen de pseudo-ellips en de gewone kegelsnede/ellips bemerken. Je ziet echter het verschil tussen de ligging van de brandpunten van beide figuren. De definitie van de ellips is bijna dezelfde als die van de pseudo-ellips, op één verschil na: bij de ellips is de som van de afstand van een punt P tot het ene brandpunt en de afstand van P tot het andere brandpunt gelijk aan 2a. De vergelijking van de ellips in cartesische coördinaten is dan ook:

met

b² = a² − c²

Een berekening leert dat de relatie tussen de brandpunten van de pseudo-ellips en die van de ellips, waarvan de abscis respectievelijk gegeven wordt door c_p en c_e, de volgende is:

Het verband tussen de constante a_p van de pseudo-ellips en de constante a_e van de ellips wordt gegeven door:

Het is slechts wanneer beide figuren op elkaar geplaatst worden dat het verschil zichtbaar is. Als de twee figuren naast elkaar komen te liggen is het onmogelijk uit te maken welke de echte ellips is.

[bewerk] Algemeenheden omtrent de pseudo-ellips

De pseudo-ellips neemt echter niet altijd de vorm van de ellips aan. Naarmate de parameter a andere waarden aanneemt verandert ook de vorm van de pseudo-ellips. Op de tekening is de evolutie van de vorm weergegeven in functie van de parameter a. Een kritische waarde van de parameter a is c² / 2 (Deze correspondeert met de paarse lijn op de figuur). Bij deze kritische waarde bereikt de eerste afgeleide van de pseudo-ellips een singulariteit in de oorsprong, die nu ook het derde nulpunt van de pseudo-ellips wordt. Als a kleiner wordt dan c² / 2 heeft de pseudo-ellips opeens 4 nulpunten.

-Als a > c² / 2 dan worden de abscissen van de nulpunten gegeven door: en .

-Indien a = c² / 2 dan wordt de oorsprong ook een nulpunt.

-En als a < c² / 2 dan heeft de pseudo-ellips 4 nulpunten gegeven door: , , en .

[bewerk] Addendum

De pseudo-ellips is niet algemeen gekend. Bijgevolg is de benaming "pseudo-ellips" dan ook niet officieel, en zal je dus geen werken vinden op het net omtrent dit onderwerp. De figuur werd door de auteur dezes ontdekt tijdens experimenten na een wiskundeles over kegelsneden.