Onafhankelijkheid (kansrekening)

In de kansrekening betekent het begrip statistische onafhankelijkheid intuïtief gezien dat bij twee gebeurtenissen het feit of de ene gebeurtenis al dan niet voorkomt geen invloed heeft op de kans dat de andere gebeurtenis voorkomt. Hetzelfde begrip kan ook op stochastische variabelen toegepast worden.

Inhoud

1 Intuïtieve verklaring
2 Onafhankelijkheid van gebeurtenissen
- 2.1 Definitie
- 2.2 Eigenschap
3 Onafhankelijkheid van stochastische variabelen
- 3.1 Definitie
- 3.2 Eigenschap

[bewerk] Intuïtieve verklaring

Als we willekeurig een mens op aarde aanwijzen, zal de kans dat het een vrouw blijkt te zijn gelijk zijn aan 1/2. Vertelt iemand ons dat de aangewezen persoon uit Afrika komt, dan nog zal het in de helft van de gevallen een vrouw blijken te zijn, d.w.z. ook dan zal de kans op een vrouw 1/2 zijn. Anders wordt het voor de kans op een donkere huidskleur. Mogelijk is die kans ca 0,1 - 0,2. Weten we echter dat de gekozen persoon uit Afrika komt, dan zal de kans op een donkere huidskleur praktisch 1 bedragen. Het optreden van de gebeurtenis A(frika) verandert niets aan de kans op de gebeurtenis V(rouw), maar wel aan de kans op de gebeurtenis D(onkere huidskleur). We noemen daarom de gebeurtenissen A en V (onderling) onafhankelijk. De gebeurtenissen A en D daarentegen heten (onderling) afhankelijk. Een formele definitie wordt meestal in termen van het gelijktijdig optreden van beide gebeurtenissen gegeven, waaruit de bovengenoemde eigenschap volgt.

[bewerk] Onafhankelijkheid van gebeurtenissen

[bewerk] Definitie

In een kansruimte heten de gebeurtenissen A en B onderling onafhankelijk als de kans op gelijktijdig optreden het product is van de kansen op afzonderlijk optreden, dus:

$\,P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .

Twee gebeurtenissen die niet onderling onafhankelijk zijn heten onderling afhankelijk.

Meestal zeggen we kort dat de gebeurtenissen (on)afhankelijk zijn i.p.v. onderling (on)afhankelijk.

[bewerk] Eigenschap

Uit de definitie volgt voor onafhankelijke gebeurtenissen A en B:

$\,P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)P(B)}{P(A)} = P(B)$ .

We zien dat als de gebeurtenissen A en B onderling onafhankelijk zijn, de voorwaardelijke kans van optreden van B gegeven dat A opgetreden is, gelijk is aan de onvoorwaardelijk kans op het optreden van B. Dit is precies de eigenschap die in de inleiding genoemd werd.

[bewerk] Onafhankelijkheid van stochastische variabelen

Ook voor stochastische variabelen spreken we van onafhankelijkheid en we baseren dat op onafhankelijkheid van gebeurtenissen. We noemen twee stochastische variabelen (onderling) onafhankelijk als elke gebeurtenis die de een betreft onafhankelijk is van elke gebeurtenis die de ander betreft.