Inwendig product

Meetkundige betekenis inwendig product A.B is: lengte van B × lengte van projectie van A op B

Het inwendig product (ook wel inproduct of scalair product genoemd) $\bold{u} \cdot \bold{v}$ van twee vectoren $\bold{u}$ en $\bold{v}$ is in de gewone meetkunde gedefinieerd als:

$\bold{u} \cdot \bold{v} = |\bold{u}| |\bold{v}| \cos \theta$

waarin $θ$ de hoek tussen de vectoren is.

Men noteert het inproduct ook wel als:

$\bold{u} \cdot \bold{v} = (\bold{u},\bold{v}) = \langle \bold{u},\bold{v}\rangle = \langle \bold{u}|\bold{v}\rangle \!$

Voor deze definitie is het dus nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat. Als de vectoren $\bold{u}$ en $\bold{v}$ elementen zijn van de $\mathbb{R}^n$ , de n-dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

$\bold{u}=(u_1, u_2, ... , u_n)\!$

$\bold{v}=(v_1, v_2, ... , v_n)\!$

kan het inwendig product onafhankelijk van het begrip hoek geschreven worden als:

$\bold{u} \cdot \bold{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n = \sum^{n}_{i=1} u_i v_i$ .

Daarmee kan dan de hoek tussen de beide vectoren afgeleid worden uit het inproduct.

[bewerk] Eigenschappen

Als $\bold{u}$ en $\bold{v}$ loodrecht op elkaar staan, is hun inproduct gelijk aan 0.

Het inwendig product is commutatief: $\bold{u} \cdot \bold{v} = \bold{v} \cdot \bold{u}$

Het begrip inwendig product is ook gegeneraliseerd. Daarbij spreekt men naar analogie van het bovenstaande van "loodrecht" of "orthogonaal" als het inproduct gelijk is aan 0. Het gegeneraliseerde inproduct is echer niet meer noodzakelijk commutatief.

[bewerk] Algemene definitie

Een inwendig product, ook inproduct of scalair product geheten, op een reële vectorruimte V is een symmetrische positief definiete bilineaire vorm $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb R$ . Dat wil zeggen dat voor $x,y,z\in V$ en $\lambda\in\mathbb R$ aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

1. bilinear:
  - $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
  - $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
  - $\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle$
2. symmetrisch: $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$
3. positief definiet: $\langle x,x \rangle > 0$ voor $x \ne 0$

Een inwendig product of inproduct op een complexe vectorruimte V is een hermitische positief definiete sesquilineaire vorm $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb C$ . Dat wil zeggen dat voor $x,y,z\in V$ en $\lambda\in\mathbb C$ aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

1. sesquilineair:
  - $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
  - $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
  - $\langle x,\bar\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle$
2. hermitisch: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$
3. positief definiet: $\langle x,x\rangle > 0$ voor $x \ne 0$

[bewerk] Voorbeelden

De volgende bewerkingen zijn inwendige producten:

van vectoren:
- $\bold{v} \cdot \bold{u} = \bold{v}^H \bold{u}$ (waain H staat voor de hermistisch toegevoegde van een vector);
- $\bold{v} \cdot \bold{u} = \bold{v}^T \bold{u}$ ;
van (complexwaardige) functies:
- $f \cdot g=\int_a^b{\overline{f(t)} g(t) dt}$
- $f \cdot g=\frac{1}{b-a}\int_a^b{\overline{f(t)} g(t) dt}$
van matrices:
- $A \cdot B=tr(A^H B)$