Inverse element
In een monoïde (V, * ) met neutraal element e, heet het element b een invers element of symmetrisch element van het element a als geldt:
- b * a = e = a * b
Het inverse element is eenduidig bepaald, want stel dat b en c beide inverse elementen zijn van a, dan is:
- c = c * e = c * a * b = e * b = b
Het is daarom gebruikelijk het inverse element van a aan te duiden als a - 1.
[bewerk] Eigenschappen
Uit de definitie volgt dat het element a de inverse is van a - 1.
De inverse van a * b is b − 1 * a − 1 Immers a * (b * b − 1) * a − 1 = a * e * a − 1 = a * a − 1 = e
[bewerk] Voorbeelden
- In de verzameling van de gehele getallen met de bewerking optellen is -a het inverse element van a.
- Voorbeeld:
- In de verzameling van de reële getallen zonder 0 met de bewerking vermenigvuldiging is a − 1 = 1 / a het inverse element van a.
- Voorbeeld: