Homotopie-equivalentie

De topologie bestudeert eigenschappen van ruimten die ongewijzigd blijven bij continue vervorming. Het begrip homotopie geeft een exacte betekenis aan de intuitieve notie van continue vervorming. Twee objecten heten homotopie-equivalent of homotoop-equivalent als ze door continue vervorming in elkaar overgaan.

[bewerk] Homotopie van afbeeldingen

Laat $f$ en $g$ twee continue afbeeldingen zijn tussen twee topologische ruimten $X$ en $Y$ . Een homotopie tussen $f$ en $g$ is een afbeelding

$F:[0,1]\times X\to Y$

zodat de beperking van $F$ tot $\{0\}\times X\simeq X$ samenvalt met $f$ , en de beperking van $F$ tot $\{1\}\times X\simeq X$ samenvalt met $g$ . Hierbij draagt het gesloten reële interval $[0,1]$ de gebruikelijke topologie, en het cartesisch product wordt voorzien van de producttopologie.

$F$ bepaalt dus werkelijk een continue overgang van $f$ in $g$ , geparametriseerd door een reëel getal tussen 0 en 1.

De afbeeldingen $f$ en $g$ heten homotopie-equivalent of kortweg homotoop als er een dergelijke homotopie $F$ bestaat.

[bewerk] Voorbeelden

De afbeelding $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto\sin x$ is homotoop met de constante afbeelding $G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto 3$ . Een mogelijke homotopie is

$F:[0,1]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}:(t,x)\mapsto3t+(1-t)\sin x$

Zij $X = {a, b}$ met de discrete topologie, d.w.z. alle deelverzamelingen van $X$ zijn open. De identieke transformatie van $X$ is niet homotoop met de constante afbeelding op $a$ . Veronderstel namelijk dat er een homotopie $F:[0,1]\times X\to X$ zou bestaan. Dan is de beperking van $F$ tot $[0,1]\times\{b\}\simeq [0,1]$ een continue afbeelding van een samenhangende ruimte naar een discrete ruimte, dus constant. Maar deze beperking neemt de waarde $b$ aan in het begin van het interval, en $a$ op het einde van het interval: een contradictie.

[bewerk] Homotopie van topologische ruimten

Twee topologische ruimten heten homotopie-equivalent of homotoop als er continue afbeeldingen

$f:X\to Y$

$g:Y\to X$

bestaan, zodat de samenstelling $g\circ f$ homotoop is met de identieke transformatie van $X$ , en bovendien $f\circ g$ homotoop is met de identieke transformatie van $Y$ .

Homeomorfe topologische ruimten zijn steeds homotopie-equivalent: neem voor $f$ een homeomorfisme, en $g$ zijn omgekeerde.

Het omgekeerde is niet waar: er bestaan paren van homotopie-equivalente ruimten die niet homeomorf zijn. De lensruimten van Tietze $L (7,1)$ en $L (7,2)$ vormen hiervan een niet-triviaal voorbeeld.

Categorie: Topologie

Homotopie-equivalentie

[bewerk] Homotopie van afbeeldingen

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Homotopie van topologische ruimten

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen