Eigenwaarde (wiskunde)
In de lineaire algebra en toepassingen daarvan spelen lineaire afbeeldingen (ook lineaire operatoren genoemd) een belangrijke rol. Een speciaal geval vormen de lineaire afbeeldingen van een vectorruimte in zichzelf. Er kunnen dan rechte lijnen door de oorsprong zijn die op zichzelf afgebeeld worden. Een punt op zo'n lijn wordt eigenvector van de afbeelding genoemd en de factor waarmee een eigenvector door de afbeelding geschaald wordt heet eigenwaarde.
De term "eigen" komt uit het Duits, waar het dezelfde betekenis heeft als in het Nederlands. Hilbert gebruikte in 1904 deze terminologie voor het eerst (er was een eerder verwant gebruik door Helmholtz). In oudere verwijzingen wordt wel de term "karakteristiek" gebruikt, wat we nog terugvinden in de benaming "karakteristiek polynoom".
Inhoud |
[bewerk] Definitie
Zij 
een lineaire afbeelding van de lineaire ruimte V in zichzelf. Een scalair λ heet eigenwaarde van T als:
.
voor zekere x ongelijk aan 0. Alle vectoren x waarvoor deze relatie geldt, worden (samen met de nulvector) eigenvectoren genoemd. De verzameling van alle eigenvectoren corresponderend met een vaste eigenwaarde λ vormt zelf een vectorruimte, de eigenruimte horend bij λ.
[bewerk] Eigenvectoren in eindigdimensionale vectorruimten
Indien de vectorruimte V waarop de lineaire afbeelding T werkt eindig-dimensionaal is, kan de afbeelding door een matrix M voorgesteld worden. Men kan aantonen dat λ dan en slechts dan een eigenwaarde van T is als:
.
Hier staat I voor de eenheidsmatrix van orde gelijk aan de dimensie n van V en "det" voor determinant. Omdat de determinant een polynoom is in λ van orde ten hoogste n, zijn er dus in het reële geval ten hoogste n eigenwaarden, en in het complexe geval precies n eigenwaarden, waarvan er overigens sommige kunnen samenvallen. In dat geval kunnen bij één eigenwaarde meerdere lineair onafhankelijke eigenvectoren horen. We tellen dit dan als meer dan één eigenwaarde. Let wel op: de multipliciteit van een eigenwaarde is niet noodzakelijk gelijk aan de dimensie van zijn eigenruimte. De determinant, die een veelterm is in λ, wordt de karakteristieke polynoom genoemd.
[bewerk] Voorbeeld
In 2 dimensies kan een spiegeling om de x-as geschreven worden als
Deze matrix heeft twee verschillende eigenwaarden, namelijk 1 en −1. De eigenvectoren die corresponderen met deze eigenwaarden zijn de x-as en de y-as, deze worden immers op een veelvoud van zichzelf afgebeeld.
en
De eerste eigenvector (de x-as) wordt op zichzelf afgebeeld, dus vermenigvuldigd met een factor (eigenwaarde) +1, de tweede (de y-as) wordt gespiegeld, dus vermenigvuldigd met een factor −1.
[bewerk] Eigenwaarden in oneindigdimensionale vectorruimten
In het algemeen geldt dat λ een eigenwaarde is van T als en slechts als T − λ geen inverse heeft.
In toepassingen op oneindigdimensionale reële of complexe ruimten zal men evenwel vaak een geschikte topologische structuur kiezen op de onderliggende vectorruimte, en zal men onderzoeken of T − λ een inverse lineaire transformatie heeft die continu is in de gegeven topologie. Vaak is de topologische structuur afkomstig van een volledige norm: het spectrum van lineaire operatoren in Banachruimten is uitvoerig bestudeerd in de functionaalanalyse.
Het spectrum van een lineaire transformatie T van een topologische vectorruimte is de verzameling complexe getallen λ met de eigenschap dat (T − λ) − 1 niet bestaat als continue lineaire transformatie.
Eigenwaarden behoren tot het spectrum, maar niet elke spectraalwaarde is een eigenwaarde. Voor compacte operatoren in een Banachruimte bestaat het spectrum evenwel geheel uit geïsoleerde eigenwaarden van eindige multipliciteit.
[bewerk] Toepassingen
[bewerk] Spectrale decompositie
Als alle eigenwaarden en -vectoren van een matrix berekend zijn, kan de bijbehorende afbeelding voorgesteld worden door een matrix met een eenvoudige gedaante, door de eigenvectoren te gebruiken als nieuw coördinatenstelsel. Dit noemt men de spectrale decompositie van de matrix. In deze eenvoudige gedaante is de matrix voornamelijk gevuld met nullen, behalve de hoofddiagonaal en beide nevendiagonalen waarvan de elementen ongelijk aan nul kunnen zijn.
In het bovenstaande voorbeeld heeft de matrix al deze eenvoudige gedaante, maar wanneer we te maken hebben met een grote hoeveelheid, gedeeltelijk gecorreleerde informatie in meerdere dimensies is het erg nuttig de matrix in deze eenvoudige vorm te schrijven. Een dergelijke methode wordt in de statistiek toegepast op correlatiematrices van statistische gegevens; deze methode heet hoofdcomponentenanalyse.
[bewerk] Toepassingen in de natuurkunde
De eigenwaarden en eigenvectoren vinden hun toepassing in de trillingstechniek. Als de bewegingsvergelijkingen van een meerdimensioneel massa-veer systeem in matrixnotatie worden opgeschreven, komen de eigenvectoren overeen met de eigentrillingen, en daarmee met de resonantiebeweging van het systeem. De eigenwaarden zijn dan gelijk aan het kwadraat van de resonantiefrequenties in radialen per seconde.
Deze matrices worden al gauw zeer groot, zodat er software nodig is om de eigenwaarden te bepalen. Dit kan bijvoorbeeld gebeuren met de eindige-elementenmethode.
Eigenwaarden en spectraalwaarden nemen een belangrijke plaats in in de kwantummechanica, waar elke meetbare grootheid gerepresenteerd wordt als een lineaire operator en de spectraalwaarden van deze operator corresponderen met de mogelijke gemeten waarden van die grootheid.
