Convolutie

De convolutie (samenvouwen) is een wiskundige bewerking, aangeduid door *, op twee functies met een nieuwe functie, de convolutie van de beide, als resultaat. Convolutie wordt o.a. gebruikt in de systeemtheorie. Synoniemen zijn Duhamel-integraal of -som, Faltung-integraal of -som (Duits: vouwen). Deze bewerking kan als een soort gewogen gemiddelde gezien worden.

[bewerk] Definitie

De convolutie van twee willekeurige discrete-tijd-signalen u en v is een nieuw discrete-tijd-signaal $\! u*v$ gedefinieerd door:

$(u*v) (k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} u(i)v(k-i)$

Voor twee continue-tijd-signalen f en g is de definitie:

$(f*g) (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(s) g(t-s) ds$

[bewerk] Eigenschappen

[bewerk] Commutativiteit:

$f * g = g * f \,$

[bewerk] Associativiteit:

$f * (g * h) = (f * g) * h \,$

[bewerk] Distributiviteit:

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,$

[bewerk] Associativiteit met het scalair vermenigvuldigen:

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

, met a een willekeurig complex (reëel) getal.

[bewerk] Afleiden:

$\mathcal{D}(f * g) = \mathcal{D}f * g = f * \mathcal{D}g \,$

, met Df de afgeleide van f (continu geval) of Df(n) = f(n+1) - f(n) (discreet geval)

[bewerk] Fouriertransformatie:

$\mathcal{F}(f * g) = \sqrt{2\pi} \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

, met F(f) de Fourier-getransformeerde van f.

[bewerk] Voorbeelden

De convolutie van een functie met de dirac-operator verschuift die functie

De convolutie van een signaal f(x) met een verschoven Dirac-impuls $\! \delta(i-i_0)$ is:

$(\delta * v)(k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} \delta(i-i_0)v(k-i)=v(k-i_0)$ , want

δ(i - i 0)

is overal nul, behalve voor

i = i 0

$(\delta * f) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0) \cdot f(x-t) \cdot dt=f(x-t_0)$ , want

δ(t - t 0)

is overal nul, behalve voor

t = t 0

, waar geldt dat

δ(t 0) = f (t) = f (t 0)

dus telkens een verschuiving.

[bewerk] Toepassingen

De convolutie wordt in de regeltechniek toegepast. Een lineair tijdsinvariant systeem S gegeven door de impulsantwoord h, geeft als output y de convolutie van de impulsrespons met het ingangssignaal x: $\! y=h*x$