Aftelbare verzameling

In wiskunde wordt de term aftelbare verzameling gebruikt om de grootte van een verzameling te beschrijven, bijvoorbeeld het aantal elementen dat de verzameling bevat. Niet-wiskundigen kunnen meestal alleen de grootte van eindige verzamelingen meten (door te tellen). Voor hen is het concept van een oneindige verzameling onduidelijk en zij hebben geen benul van de verschillende grootten van oneindige verzamelingen.

Een verzameling wordt aftelbaar genoemd als het aantal elementen eindig is of als het hetzelfde aantal elementen als de verzameling natuurlijke getallen heeft. De term aftelbaar stamt af van het feit dat de natuurlijke getallen vaak aftelbare getallen worden genoemd. Een verzameling met meer elementen wordt overaftelbaar genoemd. Niet alle overaftelbare verzamelingen hebben dezelfde grootte. De verschillende grootte van oneindige verzamelingen wordt onderzocht in de theorie van kardinaalgetallen.

[bewerk] Definitie

Een verzameling S heet aftelbaar als er een surjectieve functie

$f\colon\subseteq \mathbb{N} \to S$

bestaat.

Als f zelfs bijectief is, dan wordt S aftelbaar oneindig genoemd, en f wordt dan een aftelling genoemd. Intuïtief wil dit zeggen dat we de elementen van S op een rijtje kunnen zetten, waarbij elke element zijn eigen uniek nummer heeft.

[bewerk] Eigenschappen

Als R aftelbaar is en er bestaat een surjectieve functie g tussen R en een bepaalde verzameling S, dan is S ook aftelbaar.

Een eindig product van aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Dat kan men als volgt inzien:

Stel dat $S 1$ tot en met $S n$ aftelbaar zijn, met n een natuurlijk getal. Dan zijn er n surjectieve functies $f i$ tussen de natuurlijke getallen en $S i$ . We kunnen die surjectieve functies combineren tot één surjectieve functie: $f: \mathbb{N}^{n} \to \prod_{i=1}^{n} S_i: (x_1,x_2, \ldots x_n) \to f((x_1,x_2, \ldots x_n)) = (f_1(x_1), f_2(x_2) \ldots f_n(x_n))$

Daar $\mathbb{N}^{n}$ aftelbaar is voor elke natuurlijke n, zal ook $\prod_{i=1}^{n} S_i$ aftelbaar zijn.

[bewerk] Voorbeelden

De verzameling van de gehele getallen $\mathbb{Z}$ is aftelbaar. Een voor de hand liggende aftelling is de volgende:

$0,-1,1,-2,2,-3,3, \ldots$

Een mogelijke aftelling van $\mathbb{N}^{2}$ is de volgende:

$(0,0),(0,1),(1,0),(2,0),(1,1)(0,2),(3,0),(3,1),\ldots$

Eerst schrijven we dus de koppeltjes op met som 0, dan die met som 1, 2 enzovoort. Deze procedure kan men uitbreiden naar een willekeurig eindige macht van $\mathbb{N}$ .

De verzameling van rationale getallen $\mathbb{Q}$ is aftelbaar, want we kunnen een rationaal getal beschouwen als een koppeltje van een geheel getal (de teller) en een natuurlijk getal (de noemer).

Georg Cantor heeft bewezen dat de verzameling van de reële getallen niet aftelbaar is. Dit bewijs staat bekend als het diagonaalbewijs van Cantor.

Categorie: Verzamelingenleer

Aftelbare verzameling

[bewerk] Definitie

[bewerk] Eigenschappen

[bewerk] Voorbeelden

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen