線型結合

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線型結合（せんけいけつごう、linear combination）は線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えばベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。線型を線形と表記することもある。

いくつかのベクトルを組み合わせると他のベクトルを作ることができる。例えば、2次元数ベクトルを例にとれば、ベクトル v = (2, 3) と w = (1, 2) を用いて 2v + 3w のようにすれば、(7, 12) というベクトルを作ることができる。

このように、いくつかのベクトルを何倍かしたものを足し合わせたものを、それらのベクトルの線型結合というのである。

[編集] 定義

有限個のベクトル v₁, v₂, ..., v_r とスカラー k₁, k₂, ..., k_r に対して

$k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_r v_r$

を、ベクトル v₁, v₂, ..., v_r の（k₁, k₂, ..., k_r を係数とする）線型結合という。ベクトル v₁, v₂, ..., v_r を変数と見たときの斉一次式であるので一次結合とも呼ぶ。

係数は 0 でも良いし負でも良いので、v₁ - v₂ なども線型結合。

[編集] 諸概念

[編集] 独立・従属

n 個のベクトル v₁, ..., v_n に対して、その線型結合でベクトルを表すとき、各ベクトルがただ一通りの表示を持つならば線型独立、少なくとも 2 通りの表示が可能であるならば線型従属という。言い換えると、ベクトル v₁, ..., v_n が自明でないどんな一次関係式も満足しないとき、すなわち

$\sum_{i=1}^{n} k_i v_i = 0$

が満たされるのが、全ての係数 k_i (i = 1, 2, ..., n) が 0 の場合のみに限られるとき線型独立といい、そうでないとき線型従属であるということができる。あるいは同じことだが、与えられた幾つかのベクトルが、互いに他のベクトルの線型結合では表せないとき、これらは線型独立であるといい、線型独立でないことを線型従属という。

[編集] 生成

体 K 上のベクトル空間 V と、その有限部分集合 S = {v₁, v₂, ..., v_r} に対し、V の部分集合で S を含む最小の部分線型空間となるものを span(S) あるいは <S> と表すことにすると、それは S の元からなる一次結合の全体と一致する：

$\operatorname{span}(S) = \langle S \rangle := \{k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_r v_r \mid k_i \in K,\, v_j \in S \}.$

これをベクトル v₁, v₂, ..., v_r によって張られる部分空間あるいは S が K 上で生成する部分空間といい、S をこの部分空間の生成系という。係数を明示して Span_K(S) とか <S>_K のように記すこともある。また、S が無限個のベクトルからなる V の部分集合であるとき、S の生成する部分空間とは

$\operatorname{span}(S) := \{k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_r v_r \mid k_i \in K,\, v_j \in S,\, \exists r \in \mathbb{N} \},$

すなわち、S の有限個のベクトルの線型結合として表されるベクトル全体の成す V の部分集合となる。

V = span(S) となる部分集合 S のうち極小なものを V の基底という。基底の濃度は常に一定であり、基底の濃度としてベクトル空間の次元が定義される。たとえば、S = {v₁, v₂, ..., v_r} が線型独立なベクトルからなるならば、S はそれによって張られるベクトル空間 span(S) の基底をなし、span(S) の次元は r となる。