星型多面体
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多面体の、各辺や各面（普通は面を広げたものをいう）を広げていくと何回か交わるが、このときにできる立体が星型多面体(Stellation)である（正四面体や立方体など、どこまで広げても交わらないものからは、それ自身の一種類しか星型多面体は作れない）。また、このような操作を、星型化という。面を星型化した多面体のひとつの面がほかの面と交わるときにできた交線図を星型パターンという。
星型多面体の中で、おそらく一番良く知られているものは、星型正十二面体または小星型十二面体と呼ばれるものである。名前の通り正十二面体の辺と面のどちらを星型化してもできる多面体で星型正多面体の一種であり、星型正五角形12枚、辺30本、頂点12個から成る立体で、一つの頂点に5枚の星型正五角形が集まる。星型正多面体は正多面体の条件を満たす星型多面体のことである。
面を星型化した多面体のうち、どのような図形を星型多面体とよぶかの条件は、
- 星型多面体の面は元の多面体の面平面状になければならない。
- 全ての面を構成する領域は各平面で同じでなければならない。
- 平面に含まれる領域は元の多面体の面と同じ回転対称性を持たなければならない。
- 平面に含まれる領域は完成した星型で見えなければならない。
- 鏡像の組み合わせではない2つの星型の面と面が接しない和は許さない。
である。これは正二十面体の星型の総数を求めるとき、J.C.P.ミラーによって提案されたものである。
ある多面体の面による星型を区別するにはラベルのようなものをつける必要がある。その方法は次のとおりである。ある多面体を星型化するといくつかの胞に分かれ、そのとき前の多面体を完全に覆いかぶさる胞を層という。最初の層をa、次の層をb、というようにアルファベットであらわす。またその層が数種類の形状に分けられる場合は、b1、b2、というように数字をつける。またこれらの胞の中には2つの鏡像の分けられるものがある。それは右手系をb1というように細字で、左手系をb1というように斜体でそれぞれあらわす。ある層より内部の胞全てを使用している場合は大文字で表す。元の多面体はAであらわすことになる。
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[編集] 正多面体の星型
[編集] 正四面体、正六面体の星型
正四面体、正六面体からは辺、面のどちらからでも新しい図形を作ることはできない。
[編集] 正八面体の星型
辺による星型化からは作れない。
面による星型は、
の2種類で全てである。
[編集] 正十二面体の星型
辺による星型化からは小星型十二面体ができる。
面による星型は、
の4種類で全てである。
[編集] 正二十面体の星型
辺による星型化からは大星型十二面体ができる。
正二十面体の面による星型の胞はa,b,c,d,e1,e2,f1,f1,f2,g1,g2,hがある。 星型は全部で59種類あり、そのうちの27種類はねじれた外観を持つ。主な星型は、
- B：六十面体（一様多面体の一種である小二重三角二十・十二面体の双対）
- C：5個の正八面体の複合多面体（正複合多面体の一種）
- Ef1：5個の正四面体の複合多面体（正複合多面体の一種、鏡像あり）
- Ef1：10個の正四面体の複合多面体（正複合多面体の一種）
- Ef1g1：外観上、正三角形のみでできた立体（凸多面体ではないのでデルタ多面体には含めない）。正十二面体の各面を正五角錐の形にへこませたもの。
- Ef2g2：medial triambic icosahedron（一様多面体の一種の二重三角十二・十二面体の双対）
- Ef2g2：great triambic icosahedron（一様多面体の一種の大二重三角二十・十二面体の双対）
- G：大二十面体（星型正多面体の一種）
- H：完全二十面体（正二十面体の最後の星型）
などがある。詳しくは正二十面体の星型一覧を参照のこと。
