巡回多元環

数学、とくに代数学・代数的整数論において、巡回多元環（じゅんかいたげんかん、cyclic algebra）とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環 (central simple algebra) の一種で、四元数環の一般化。

[編集] 定義

L/K を体の n 次巡回拡大とし、そのガロア群 Gal(L/K) の生成元を σ とする。このとき、β ∈ K^×（K^× は K の乗法群）, L/K, σ によって定まる K 上の巡回多元環 A とは次のようなものである：

A は n 個の文字 {1_A, j, j², ..., j^n-1} を基底とする L 上の n 次元ベクトル空間（ただし、1_A = j⁰, j = j¹ と見なす）。あるいは同じことだが、j^k の生成する L 上の 1 次元ベクトル空間 Lj^k (0 ≤ k < n) の直和。

$A = L \oplus Lj \oplus Lj^2 \oplus \cdots \oplus Lj^{n-1}$
文字 j は指数法則 j^k · j^l = j^k+l と jⁿ = β に従う。
x ∈ L ならば j^k · x = σ^k(x) · j^k (0 ≤ k < n) を満たす。ただし、σ^k は σ の k 回合成写像。

A の一般の元 x, y の積は

$x = \sum_{k=0}^{n-1} x_k j^k, y = \sum_{k=0}^{n-1} y_k j^k \ (x_k,\, y_k\in L)$

とおくと

$xy = \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{l=0}^{n-1}x_k \sigma(y_l) j^{k+l}$

となる。特に、σ は K の元を動かさない L の自己同型であるから、c ∈ K に対して j^kc = cj^k (0 ≤ k < n) となり、逆にこのような c は K の元に限るから、A の中心が K であることがわかる。

K の単元 β、巡回拡大 L/K、ガロア群の生成元 σ から構成される巡回多元環を、巡回多元環 (β, L/K, σ) などと表すこともある。

巡回多元環 (β, L/K, σ) は K 上の中心的単純環で L で分裂する（split、分解されるともいう）。すなわち、n 次巡回多元環 (β, L/K, σ) と L との多元環のテンソル積は L 上 n 次の全行列環 Mat(n, L) に L 上の多元環として同型である:

$(\beta, L/K, \sigma) \otimes_K L \simeq {\rm Mat}(n,L).$