十二進記数法

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改名：この記事のタイトルを、「12進記数法」もしくは「12進法」に変更することが提案されています。詳しくはノート:位取り記数法をご覧ください。

十二進（位取り）記数法（じゅうにしん-くらいどり-きすうほう）あるいは簡単に十二進法（じゅうにしんほう）は、十二を基数とする位取り記数法のこと。つまり、十二を一組の単位とする数え方である。

本稿では慣用に従い十進数を用い、10 は十を、12 は十二を表すものとする。括弧および下付の 12 で十二進数を示す。

[編集] 位取り

数学的に定式化された十二進法では、1 桁に 12 個の数字を収め、12 倍ごとに桁を繰り上げる。この時、0 から 9 までの数字に加えて、10 を表す A と、11 を表す B の計 12 個の数字を充てて、12 を (10)₁₂ と記す。この位取りによる表記法を十二進表記という。十二進表記で記された数を十二進数という場合もある。

整数

十二進表記の整数では、(50)₁₂ は 60 (5×12¹) を、(100)₁₂ は 144 (1×12²) を、(1A6)₁₂ は 270 (1×12² + 10×12¹ + 6×12⁰) を意味する。

小数

小数において、十進数の 0.625 は、十二進数では (0.76)₁₂ となる。625 は 625／1000（= 625／10³ = 5／8）を、(76)₁₂ は 90／144（= 90／12² = 5／8）を意味するからである。

従って、「57.6 ÷ 9」の商は、以下の通りとなる。

十進数　：57.6 ÷ 9 = 6.4

十二進数：57.6 ÷ 9 = 7.6

桁を一つ繰り上げて小数点を消すと、576 は「64 × 9」だが、(576)₁₂ は 810 、つまり「90 × 9」という意味になる。

日常的に用いる十二進法は、専ら単位系である。この場合、数は十進法で表し、9、10、11 と表記し、12 に至ると桁ではなく単位を繰り上げる方法を採る。

[編集] 由来

自然言語では、ナイジェリアのジャンジ語、カフグ語、グワンダラ語ニンビア方言など、およびネパールのチェパン語が十二進法を用いている。12 が基準になった理由には、一説には片手の人さし指から小指の計 12 個の節を親指で示す数え方、または手の指十本と足二本の和で 12 本とする数え方に由来するという。

また、単位の十二進法は、1 年が 12 ヶ月であること（満月と新月の回数がほぼ 12 回。360 ÷ 30 = 12）に因むという説がある。メソポタミア文明では、これが 1 年を 12 か月とする暦法となり、12 は 30 と並んで、主に時間を示す際の基数となった。この他にも 12 年（= 144 ヶ月）を 1 回り、24 時間を 1 日、60 分を 1 時間、60 秒を 1 分とする時間の単位を作った。すべて 12 の倍数であり、24 は 12 の 2 倍、60 は 12 と 30 の最小公倍数である。

整数を年数として、6 を「半年」として小数を月数として表現すると：

十二進法：(1A.6 + 7.6 = 26)₁₂

十進法：　22.5 + 7.5 = 30

となり、十二進法の位取りでは、「22年 6ヶ月＋ 7年 6ヶ月 = 30年」という意味が明瞭になる。桁を一つ繰り上げて小数点を消すと：

十二進法：(1A6 + 76 = 260)₁₂

十進法：　270 + 90 = 360

という意味になり、月数に相当する。即ち、90 を (76)₁₂と表記すると「7年6ヶ月」と見る事ができ、360を (260)₁₂と表記すると「30倍の12」と見る事もできる。

尚、720 は、一般的には「（360の）2 倍」を意味する事が多いが、十二進法では「（144の）5 倍」を意味する［ (500)₁₂ = 720 (5×12²) ］。

12 は 3 と 4 の積で、約数が多く、分割に便利である点も、十二進法が用いられる一因となったと考えられる。

[編集] 様々な用途

物の数を表すダース (12)、グロス (144 = 12²)、グレートグロス (1728 = 12³)、スモールグロス (120 = 12×10) という単位があり、西洋で用いられる。

ゲルマン語派は 11 と 12 に固有の呼び名がある。英語では eleven, twelve であり、ドイツ語では elf, zwölf である。これらは原ゲルマン語の *ainlif と *twalif に由来する。これらは 1 余り、2 余りという意味であり、十進法に基づく呼び名であるが、これらが生き延びたことを十二進数と関連づける説もある。

中国でも、年を十二支で呼び、十干と合わせた干支は60年で一周する。

なお、英米では十二進法を採用するよう主張する少数の人々がいる。これらの人々は英語で通常使われる duodecimal を使わず、dozenal を使う。