バナッハ空間

バナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space）はノルム空間であって、そのノルムが定める距離が完備であるようなもののことである。

ヒルベルト空間は内積から導かれるノルムに関してバナッハ空間となっている。

[編集] 例

以下はすべて実数体 R 上のバナッハ空間の例である。

n 次元ユークリッド空間 Rⁿ は、x = (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ に対して次で定義されるどのノルムについてもバナッハ空間である：
- $\lVert x\rVert=\sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}$ .
- $\lVert x\rVert_p=(|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p)^{\frac{1}{p}}$ （p は 1 以上の実数）。上のノルムは p = 2 の場合である。
- $\lVert x\rVert_{\infty}=\max\{|x_1|,\ldots,|x_n|\}$ .
p を 1 以上の実数とし、実数列 {a_n} であって

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p<\infty$

を満たすもの全体を l ^p と書く。これは、a = {a_n} ∈ l ^p に対して

$\lVert a\rVert_p=\left(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$

で定まるノルムに関してバナッハ空間である。

有界な実数列全体の集合 l ^∞ は、a = {a_n} ∈ l ^∞ に対して

$\lVert a\rVert_{\infty}=\sup_{n=1,2,\ldots}|a_n|$

で定まるノルムに関してバナッハ空間である。

(Ω, μ) を測度空間とし、p を 1 以上の実数とするとき、Ω 上の p 乗可積分関数全体の集合を「ほとんどいたるところ一致するような関数を同一視する」という同値関係で割った商集合 L^p(Ω, μ) は、

$\lVert f\rVert_p=\left(\int_{\Omega}|f|^p\,d\mu\right)^{\frac{1}{p}}$

で定まるノルムに関してバナッハ空間である。

Ω が自然数全体の集合 N で、μ が数え上げ測度のとき、L^p(Ω, μ) は上で述べた l ^p と一致する。

(Ω, μ) を測度空間とし、Ω 上の本質的に有界な関数、すなわちほとんどすべての x ∈ Ω に対して f(x) ≤ M となる M が存在するような関数全体の集合を「ほとんどいたるところ一致する」という同値関係で割った（つまり、「ほとんどいたるところ一致する」関数同士を同一視する）商集合 L^∞(Ω, μ) は、上のような M の下限で定義されるノルムに関してバナッハ空間である。Ω が自然数全体の集合 N で、μ が数え上げ測度のとき、L^∞(Ω, μ) は上で述べた l ^∞ と一致する。
有界閉区間 I 上の実数値連続関数全体 C(I) は

$\lVert f\rVert=\max_{x\in I}|f(x)|$