Banachův prostor
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.
[editovat] Definice
Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor V nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou | | . | | , ve kterém má každá cauchyovská posloupnost (v indukované metrice d(x,y) = | | x − y | | ) limitu.
[editovat] Příklady
- Prostory
a 
(všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory a eukleidovskou normou
-
,
- pro
, budou dokonce Hilbertovy.
- Prostor všech spojitých funkcí
![f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}](../../../math/0/4/b/04b1d979a595c58bb6355218396fb44e.png)
opatřený normou
![||f||_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|](../../../math/8/2/9/82938822c6f523772ddea8d94d1a728a.png)
- je Banachův.
- Vybavíme-li předchozí prostor normou
-
nebo 
,
- Banachův již nebude.
