ソボレフ空間

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ソボレフ空間（ソボレフ-くうかん、Sobolev space）とは，超関数の意味での導関数を持ち，その導関数がp乗可積分となるような関数からなる関数空間の総称である．p=2のとき、ソボレフ空間はヒルベルト空間である．

[編集] $H^k~~$ 空間

$\R^n$ の領域 $\Omega~~$ において２乗可積分な関数で，distribution（邦訳超関数）の意味でのそのk階までのすべての導関数が２乗可積分となるような関数全体からなる関数空間を $H^k(\Omega)~~$ で表す． $H^k(\Omega)~~$ は内積

$\left(u,v \right) = \sum_{|\alpha| \le k} \int_{\Omega} D^{\alpha}u D^{\alpha}v dx$

によって，ヒルベルト空間となる．ここで，

$\alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n), \quad |\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n, \quad D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial^{\alpha_1}_{x_1}\cdots\partial^{\alpha_n}_{x_n}}$

とする．

[編集] $H^k_0~~$ 空間

$C^\infty_0(\Omega)$ を $\Omega~~$ 上で無限階微分可能でかつサポートが $\Omega~~$ に含まれている関数全体とする。このとき、 $C^\infty_0(\Omega)$ を $H^k(\Omega)~~$ のノルムによって完備化した空間のことを $H^k_0(\Omega)~~$ と呼ぶ。つまり、 $u\in H^k_0(\Omega)$ とすれば、ある $\{u_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset C^\infty_0(\Omega)$ が存在して

$u_n\rightarrow u\quad{\rm in}\quad H^k(\Omega)$

となる。 $H^k_0(\Omega)~~$ は $H^k(\Omega)~~$ と同じ内積の下でヒルベルト空間となる。また、 $H^k_0(\Omega)~~$ は $\Omega~~$ の境界 $\partial\Omega~~$ が滑らかであるとき、

$H^k_0(\Omega)=\{u\in H^k(\Omega)|u=0\quad{\rm on}\quad \partial\Omega\}$

である。

[編集] $W^{k,p}~~$ 空間

$\Omega~~$ 上p乗可積分な関数で，distribution（邦訳超関数）の意味でのそのk階までのすべての導関数がp乗可積分となるような関数全体からなる関数空間を $W^{k,p}(\Omega)~~$ で表す． $W^{k,p}(\Omega)~~$ はノルム

$\|u\|^p_{W^{k,p}(\Omega)}= \sum_{|\alpha| < k} \|D^{\alpha}u\|^p_{L^p(\Omega)}$

によって，バナッハ空間となる．ここで，

$\alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n), \quad |\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n, \quad D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial^{\alpha_1}_{x_1}\cdots\partial^{\alpha_n}_{x_n}}$

とする．特にp=2のとき

$W^{k,2}(\Omega)=H^k(\Omega)~~$

である。

[編集] $W^{k,p}_0~~$ 空間

$C^\infty_0(\Omega)$ を $W^{k,p}(\Omega)~~$ のノルムによって完備化した空間のことを $W^{k,p}_0(\Omega)~~$ と呼ぶ。つまり、 $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ とすれば、ある $\{u_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset C^\infty_0(\Omega)$ が存在して

$u_n\rightarrow u\quad{\rm in}\quad W^{k,p}(\Omega)$

となる。 $W^{k,p}_0(\Omega)~~$ は $W^{k,p}(\Omega)~~$ と同じノルムの下でバナッハ空間となる。また、 $W^{k,p}_0(\Omega)~~$ は $\Omega~~$ の境界 $\partial\Omega~~$ が滑らかであるとき、

$W^{k,p}_0(\Omega)=\{u\in W^{k,p}(\Omega)|u=0\quad{\rm on}\quad \partial\Omega\}$

である。特にp=2のとき

$W^{k,2}_0(\Omega)=H^k_0(\Omega)~~$

である。

[編集] Trace作用素

Trace作用素とは $u\in C^1(\overline\Omega)$ に対して $u|_{\partial\Omega}$ を対応させる作用素を $T$ とする。つまり、 $Tu=u|_{\partial\Omega}$ である。このとき、ある定数 $M$ に対して次の不等式が成立する。

$\|Tu\|_{L^p(\partial\Omega)} \le M\|u\|{W^{k,p}(\Omega)}$

また $W k, p (Ω)$ において $C^k(\overline\Omega)$ はdenseであるので、任意の $u\in W^{k,p}(\Omega)$ に対して、ある $u_n\in C^k(\overline\Omega)$ が存在して

$u_n\rightarrow u\qquad{\rm in}\quad W^{k,p}(\Omega)$

となる。上の不等式に対してこの $u n$ を代入すれば、 $T u n$ は $L^p(\partial\Omega)$ においてコーシー列であることが分かる。従って、 $T u n$ は $L^p(\partial\Omega)$ において極限を持つ。それを $Tu\in L^p(\partial\Omega)$ とし、この $T$ をTrace作用素と呼ぶことにする。