V postulato di Euclide

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Il V postulato di Euclide è il postulato più famoso fra quelli che il matematico Euclide enuncia nei suoi Elementi. I matematici si sono cimentati per più di duemila anni nel tentativo di dedurlo dai primi quattro postulati, finché nell'Ottocento hanno effettivamente dimostrato la sua indimostrabilità. Modificando questo postulato si creano geometrie diverse, dette non euclidee.

Indice

1 I postulati di Euclide
2 Il V Postulato
3 Il V postulato è indipendente dai primi quattro?
4 Geometrie non euclidee
5 Voci correlate

[modifica] I postulati di Euclide

Nella stesura degli Elementi, l’opera di formidabile sistematizzazione della matematica ellenistica, svolta in termini rigorosamente ipotetico-deduttivi, Euclide esplicita i seguenti cinque postulati

I) Un segmento di linea retta può essere disegnato unendo due punti a caso.
II) Un segmento di linea retta può essere esteso indefinitamente in una linea retta
III) Dato un segmento di linea retta, un cerchio può essere disegnato usando il segmento come raggio ed uno dei suoi estremi come centro
IV) Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro
V) Se due linee sono disegnate in modo da intersecarne una terza in modo che la somma degli angoli interni, da un lato, sia minore di due angoli retti, allora le due linee si intersecheranno tra loro dallo stesso lato se sufficientemente prolungate.

I matematici greci rifuggivano dall’idea di infinito attuale; non parlano di rette ma di segmenti indefinitamente estendibili.

[modifica] Il V Postulato

Nei testi di geometria in uso nelle scuole oggi, il V postulato viene generalmente enunciato nei seguenti termini:

"Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data"

(formulazione che si può far risalire a Proclo e ripresa dal matematico scozzere John Playfair). Per questa ragione il V postulato di Euclide è anche denominato postulato delle parallele.

In una teoria assiomatica un postulato $P 1$ può essere sostituito da una qualsiasi proposizione $P 2$ che risulti ad esso equivalente, nel senso che dato $P 1$ si prova esser vero $P 2$ e viceversa.

Diverse sono state nella storia della matematica le formulazioni del V postulato, citiamo ad esempio:

in un quadrilatero ABCD avente gli angoli $\hat{A}$ e $\hat{B}$ retti ed i lati $\overline{AD}$ e $\overline{BC}$ uguali, allora anche gli altri due angoli sono retti (formulazione adottata da Padre Saccheri);
date due rette tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli coniugati interni è pari ad un angolo piatto;
in un qualsiasi triangolo la somma degli angoli interni è pari ad un angolo piatto.

[modifica] Il V postulato è indipendente dai primi quattro?

Curiosamente, nella stesura degli Elementi il V postulato viene introdotto non all’inizio, ma più avanti, quando già Euclide aveva fornito la dimostrazione di ben 28 "proposizioni" che non dipendono dal V postulato (formando un corpus di teoremi che verrà poi chiamato geometria assoluta). Si insinuava così il dubbio che la proposizione enunciata come “V postulato” non fosse ritenuta tale e che Euclide avesse, senza successo, provato a darne una dimostrazione.

Il tentativo di provare il V postulato impegnò per secoli i matematici prima greci, poi arabi, poi rinascimentali.

Un posto di rilievo nei tentativi di dimostrazione del V postulato di Euclide è occupato dal matematico gesuita Padre Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733). Nel 1733, poco prima di morire, pubblicò con orgoglio l’opera "Euclides ab omni naevo vindicatus" ("Euclide emendato da ogni neo"), ove l’antiestetico neo che turbava la perfetta armonia degli Elementi era dato, appunto, dalla assunzione come postulato di una proposizione che dovevasi invece dimostrare.

Partendo dalla formulazione del postulato sopra ricordata – "In un quadrilatero ABCD avente gli angoli $\hat{A}$ e $\hat{B}$ retti ed i lati $\overline{AD}$ e $\overline{BC}$ uguali, allora anche gli altri due angoli sono retti" - egli dichiara di volere dimostrare la proposizione per assurdo.

A priori si possono formulare, sugli angoli $\hat{C}$ e $\hat{D}$ le seguenti ipotesi

Hp₁: sono entrambi retti;
Hp₂: sono entrambi ottusi;
Hp₃: sono entrambi acuti.

Se si riesce a dimostrare che, partendo da Hp₂ e poi da Hp₃, si arriva ad una qualche proposizione che contraddice le prime 28 proposizioni degli Elementi (quelle indipendenti dal V postulato) allora si potrà dire che tali ipotesi sono false e si sarà così dimostrata la validità della prima ipotesi.

Nel testo pubblicato – dopo essersi sbarazzato presto della Hp₂ che contrasta con la infinita prolungabilità di un segmento - Saccheri combatte a lungo con la Hp₃ (che lui chiama "l’inimica ipotesi dell’angolo acuto"), prima di ritenere di aver avuto partita vinta. Negli anni successivi si proverà che la sua dimostrazione era incappata in un errore.

Le tre ipotesi avrebbero potuto, secondo un linguaggio a noi familiare essere formulate dicendo:

Data una retta r ed un punto P fuori di essa, per P passa

Hp₁: una ed una sola parallela alla retta data;
Hp₂: nessuna parallela alla retta data:
Hp₃: infinite parallele alla retta data;

[modifica] Geometrie non euclidee

Oggi sappiamo che il V postulato è veramente indimostrabile a partire dai primi quattro postulati di Euclide, e che le tre ipotesi di Padre Saccheri portano a tre diverse geometrie: rispettivamente quella di Euclide, quella di Bolyai-Lobacevskij e quella di Riemann. Le ultime due vengono denominate geometrie non euclidee.