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平行公設，也稱為歐幾里得第五公設，因是《幾何原本》五條公設的第五條而得名。這是歐幾里得幾何一條與別不同的公理，比前四條複雜。公設是說：
假設所有歐幾里得公設成立的幾何，是歐幾里得幾何，當中包括平行公設。平行公設不成立的稱為非歐幾里得幾何。不依賴於平行公設的幾何，也就是只假設前四條公設的，稱為仿射幾何。
有些歐幾里得幾何的性質與平行公設等價，也就是假設平行公設成立，可推導出這些性質，反之假設這些性質的一項為公理，也可以推導出平行公設。其中最重要的一項，也是最常作為公理代替平行公設的，要算是蘇格蘭數學家 John Playfair 提出的 Playfair 公理：
給定一條直線，通過此直線外的任何一點，有且只有一條直線與之平行。
很多人嘗試用前四條公設證明平行公設都不成功，反而創造了違反平行公設的雙曲幾何。最後由意大利數學家貝爾特拉米(Eugenio Beltrami)證明了平行公設獨立於前四條公設。
很多與平行公設等價的命題，似乎與平行線無關。有些性質更看似很明顯，因而被一些聲稱證明了平行公設的人不經意用到了。這裡是一些命題：
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