Traccia (matrice)
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In matematica si definisce traccia di una matrice, e si utilizza il simbolo tr(A), la somma dei valori di tutti gli elementi che stanno nella diagonale principale della matrice A.
Si definisce anche la traccia di un endomorfismo di uno spazio vettoriale come la traccia di una qualsiasi matrice associata all'endomorfismo.
[modifica] Esempio
[modifica] Proprietà
- tr(AB) = tr(BA)
- tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
- tr(A) = tr(AT)
- tr(In) = n dove In è la matrice identità n×n.
- Una matrice hermitiana ha traccia reale in quanto i suoi elementi sulla diagonale principale sono reali.
- La traccia è invariante per similitudine: due matrici simili hanno la stessa traccia.
- Siano dati uno spazio vettoriale V ed un endomorfismo T: V → V. Usando una base B di V si può tradurre l'endomorfismo in una matrice, detta la matrice associata a T rispetto a B. Usando un'altra base B' si ottiene un altra matrice, simile alla precedente. Per quanto detto sopra, le due matrici hanno la stessa traccia, che è quindi un valore intrinseco di T: questa è la traccia dell'endomorfismo T, e si indica con tr(T).
- La traccia è l'ultimo coefficiente del polinomio caratteristico della matrice.
- La traccia è pari alla somma dei suoi autovalori, infatti una matrice è sempre simile ad una forma canonica di Jordan, una matrice triangolare superiore che ha gli autovalori λ1,...,λn sulla diagonale principale.
- Per una matrice 2x2 si può usare uno schema traccia-determinante per trovare gli autovalori della matrice medesima. Visto che la traccia di una 2x2 è λ1 + λ2 mentre il determinante è
allora possiamo trovare le due soluzioni facendo un equazione di secondo grado di questo tipo: λ2 − tr(A)λ + det(A) visto che il termine di primo grado è meno la somma delle due soluzioni( in questo caso dei due autovalori.
