Teoria delle piccole oscillazioni (meccanica razionale)

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Lo studio delle piccole oscillazioni nell'intorno di un punto di equilibrio stabile è connesso al fatto che è a volte arduo risovere sistemi lagrangiani ed interessa approssimare le equazioni in modo da ottenerne informazioni utili, soprattutto in quei problemi in cui sono presenti oscillazioni periodiche.

Si consideri un sistema meccanico conservativo a N gradi di libertà, sottoposto a vincoli lisci olonomi bilaterali e indipendenti dal tempo. Il sistema può essere descritto in termini di coordinate lagrangiane $q_1, \dots, q_n$ , costruendo la lagrangiana:

$L = T-U = \frac{1}{2} \sum_{i,j} a_{ij} (q_1,..., q_n) \cdot \dot q_i \dot q_j - U(q_1,...,q_n)$

dove $a i j$ è la matrice dell'energia cinetica e $U (q)$ l'energia potenziale dipendente solo dalle coordinate.

[modifica] Posizioni di equilibrio e stabilità

Per un sistema meccanico sottoposto a vincoli olonomi e perfetti, le posizioni di equilibrio sono tutte quelle per cui le forze generalizzate si annullano.

Dalla teoria dei sistemi dinamici le equazioni di Lagrange associata alla lagrangiana L si riconducono ad un sistema dinamico in uno spazio $\mathbb{R}^{2n}$ , 2n dimensionale nelle incognite $(q(t), \dot q(t))$ . Le posizioni di equilibrio del sistema sono tutte quelle per cui il gradiente della matrice dell'energia potenziale si annulla:

$\nabla_q U(q) = 0$

Per vedere il tipo di stabilità dei punti di equilibrio vale il teorema di Lagrange: se l'energia potenziale ha un minimo isolato in una posizione di equilibrio $\bar q$ allora questa posizione è stabile. Un metodo analogo è quello di considerare gli autovalori della matrice: se sono ambedue positivi allora la forma quadratica associata è definita positiva e si ha un punto di equilibrio stabile, cioè il grafico ha un minimo stretto in quel punto.

[modifica] Matrice hessiana del potenziale

In base a quanto detto sulle posizioni di equilibrio, possiamo costruire la matrice hessiana della funzione potenziale:

$\left( \frac{\partial^2 U}{\partial q_i \partial q_j} \right)_{ij} = B_{ij}$

Se la matrice hessiana del potenziale è definita positiva in una posizione di equilibrio $\bar q$ allora per il teorema di Lagrange la posizione di equilibrio è stabile.

[modifica] Lagrangiana delle piccole oscillazioni

Il passo successivo è costruire la lagrangiana nella posizione di equilibrio. In questo punto sta il significato della teoria delle piccole oscillazioni: infatti la nuova lagrangiana costruita non è quella del sistema, ma una lagrangiana approssimata nella posizione di equilibrio, questa è il risultato di una linearizzazione al secondo ordine per cui dfferisce dalla lagrangiana originaria per un infinitesimo del secondo ordine. In tal modo le soluzioni della nuova lagrangiana differiscono poco da quelle della lagrangiana originaria nei punti di equilibrio stabile, cosa che non avviene nei punti di equilibrio instabile: poiché l'equilibrio è stabile in quei punti una piccola differenza non provoca cambiamenti dell'equilibrio. La nuova lagrangiana è lo $s v i l u p p o d i T a y l o r$ nell'intorno di un punto di equilibrio stabile, al secondo ordine:

$L' = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{n} A_{ij} \cdot \dot q_i \cdot \dot q_j - \frac{1}{2} \sum_{ij=1}^{n} B_{ij} \cdot q_i \cdot q_j$

dove $A_{ij} = a_{ij}(\bar q)$ è la matrice dell'energia cinetica calcolata nella posizione di equilibrio stabile $\bar q$ e $B_{ij}(\bar q)$ è la matrice hessiana della funzione potenziale calcolata sempre nel punto di equilibrio stabile, come visto sopra.

La nuova lagrangiana fornisce nuove equazioni di Lagrange della posizione di equilibrio che sono le equazioni linearizzate:

$\sum_{j=1}^{n} A_{ij} \cdot \ddot q_j + \sum_{j=1}^{n} B_{ij} \cdot q_j = 0$

[modifica] Soluzioni dell'equazione linearizzata

Le soluzioni delle equazioni di lagrange linearizzate sono della forma:

$q_i(t) = \sum_{i=1}^{n} C_{ij} Q_j (t)$

dove $Q_j(t) = \alpha_j \cos \left(\sqrt{\lambda_j} \cdot t + \beta_j \right)$ , e dove le $λ j$ sono le soluzioni positive dell'equazione agli autovalori:

d e t (B - λ A) = 0

e la matrice invertibile $C i j$ è composta dagli autovettori in colonna normalizzati soluzioni di:

d e t (B - λ j A) u j = 0

e $α j,β j$ sono costanti di integrazione deducibili dalle condizioni iniziali.

Le coordinate $Q j (t)$ sono chiamati modi normali e i numeri $\sqrt{\lambda_j}$ sono detti frequenze proprie del sistema.

[modifica] Conclusioni

In definitiva risolvere il problema delle piccole oscillazioni intorno a posizioni di equilibrio (a condizioni iniziali fissate) corrisponde al problema di trovare le soluzioni delle equazioni linearizzate che a sua volta significa trovare una matrice diagonalizzante C. Fisicamente $Q j (t)$ rappresenta allora un'oscillazione di frequenza $\omega_j = \sqrt{\lambda_j}$ : in pratica la soluzione delle equazioni linearizzate ci dice che il moto intorno alla posizione di equilibrio, nell'approssimazione di piccole perturbazioni, è composto da un numero n di moti oscillatori corrispondenti a tutte le frequenze possibili $\pm \omega_j$ .

[modifica] Voci correlate

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