Forma quadratica

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In matematica una forma quadratica è un polinomio omogeneo di grado 2 in un certo numero di variabili. Ad esempio la distanza tra due punti di uno spazio euclideo tridimensionale è ottenuta dalla radice quadrata di una forma quadratica in 6 variabili, le tre coordinate cartesiane ortogonali di ciascuno dei due punti.

Esempi di forme quadratiche in una, due e tre variabili sono dati da:

F (x) = a x 2

F (x, y) = a x 2 + b y 2 + c x y

F (x, y, z) = a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z

Si osservi che le funzioni quadratiche generali e le equazioni quadratiche non forniscono esempi di forme quadratiche.

Indice

1 Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica
2 Forma quadratica sopra un modulo o uno spazio vettoriale
3 Definitezza di una forma quadratica
4 Forme isotrope e anisotrope
5 Voce correlata

[modifica] Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica

Dato uno spazio vettoriale V su $\mathbb{K}$ ed f una forma bilineare simmetrica, l'applicazione: $q: V \longrightarrow \mathbb{K}$ che ad ogni vettore dello spazio vettoriale $\vec v \in V$ associa una forma quadratica $f(\vec v,\vec v) = q$ che verifica le seguenti proprietà:

$1) \ q(\lambda \vec v) = \lambda^2 q (\vec v)$

$2) \ \frac{1}{2} \left( q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w)\right) = f(\vec v, \vec w)$

per $\lambda \in \mathbb{K}; \vec v,\vec w \in V$ . Con questo risultato si vede che la forma quadratica non è lineare.

Infatti la 1) si ottiene:

$q(\lambda \vec v) = f(\lambda \vec v, \lambda \vec v) = \lambda ^2 q(\vec v)$

La 2) si ottiene:

$q(\vec v + \vec w)= f(\vec v + \vec w,\vec v + \vec w)= f(\vec v,\vec v + \vec w) + f(\vec w,\vec v + \vec w)= f(\vec v,\vec v) + f(\vec v,\vec w) + f(\vec w,\vec v) + f(\vec w,\vec w) =$

$= q(\vec v) + 2 f(\vec v, \vec w) + q(\vec w)$

Se si considera per la generica forma quadratica in due variabili la espressione

F (x, y) = a x 2 + b y 2 + 2 c x y

si vede facilmente che essa può esprimersi come

x^T·M·x ,

utilizzando un vettore colonna x, il corrispondente vettore riga x^T e la matrice 2×2 M:

$\mathbf{x} = \left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right] \qquad M = \left[\begin{matrix}a&c\\c&b\end{matrix}\right]$

Qui l'esponente ^T denota la trasformazione di una matrice nella trasposta.

Questa osservazione si generalizza agevolmente alle forme in n variabili e alle matrici simmetriche n×n. Essa si può usare per mostrare che la teoria delle forme quadratiche coincide con quella delle forme simmetriche bilineari. Questo è consentito dal fatto che il cambiamento di notazioni che collega le due nozioni, con una sola eccezione, non pone alcuna difficoltà: si tratta solo di dimezzare i coefficienti dei binomi relativi a due diverse variabili. Questo si può fare per ogni campo, con l'unica eccezione costituita dai campi di caratteristica 2. Ad esempio nel caso più comune delle forme quadratiche a valori reali, discutere le forme quadratiche reali e trattare le forme bilineari simmetriche (costruite mediante matrici simmetriche) corrisponde ad esaminare lo stesso oggetto da due punti di vista (poco) diversi.

Occorre dire che certe questioni della teoria dei numeri pongono qualche problema. Storicamente vi sono state delle controversie sopra l'opportunità di presentare la nozione di forma quadratica intera ammettendo i due (cioè basandosi sulle matrici simmetriche intere) oppure escludendo i due. Vari motivi inducono ad escludere i due e questa è ora la scelta standard. Tra questi segnaliamo: (i) si ottiene una migliore comprensione della teoria 2-adica delle forme quadratiche, la sorgente 'locale' della difficultà; (ii) il punto di vista del reticolo, che era in genere adottato dagli esperti delle forme quadratiche arithmetiche negli anni 1950; (iii) le attuali necessità della teoria delle forme quadratiche intere in topologia per la teoria dell'intersezione; (iv) gli aspetti dei gruppi di Lie e dei gruppi algebrici.

Il seguito di questo articolo procede secondo la modalità prevalente nella esposizione dell'argomento, modalità che ha particolare rilevanza quando si lavora su qualche anello R nel quale 2 non è una unità.

[modifica] Forma quadratica sopra un modulo o uno spazio vettoriale

Sia V un modulo sopra un anello commutativo F; in particolare interessa il caso in cui V è uno spazio vettoriale sopra un campo F.

Una funzione del genere Q : V → F viene detta forma quadratica sopra V se

Q(au) = a² Q(u) per ogni a ∈ F e u ∈ V,
B(u,v) = Q(u+v) − Q(u) − Q(v) è una forma bilineare su V.

B viene chiamata forma bilineare associata. Si noti che per ogni vettore u ∈ V

2Q(u) = B(u,u)

e di conseguenza se 2 à invertibile in F possiamo ricavare la forma quadratica dalla forma simmetrica bilineare B con l'espressione

Q(u) = B(u,u)/2.

Quando 2 è invertibile questa espressione evidenzia una corrispondenza biunivoca tra forme quadratiche su V e forme bilineari simmetriche su V. Se B una qualsiasi forma bilineare simmetrica, allora B(u,u) è sempre una forma quadratica. Questo fatto talora viene utilizzato per la definizione di una forma quadratica, ma se 2 non è invertibile questa definizione è insufficiente in quanto non tutte le forme quadratiche possono ottenersi con tale costruzione.

Le forme quadratiche sopra l'anello degli integeri sono dette forme quadratiche intere o reticoli interi. Essi svolgono ruoli importanti in teoria dei numeri e in topologia.

Due vettori u e v di V sono detti ortogonali per la B se B(u, v)=0.

Si dice nucleo o kernel della forma bilineare B l'insieme degli elementi di V che sono ortogonali a tutti gli elementi of V, mentre il nucleo o kernel della forma quadratica Q è costituito da tutti gli elementi u del nucleo di B per i quali Q(u)=0. Se 2 è invertibile allora Q e la sua forma bilineare associata B hanno lo stesso nucleo.

La forma bilineare B si dice forma bilineare nonsingolare se il suo nucleo si riduce allo 0; la forma quadratica Q si dice forma quadratica nonsingolare se il suo nucleo è costituito dal solo 0.

Si dice gruppo ortogonale di una forma quadratica nonsingolare Q il gruppo degli automorfismi di V che that preserva la forma Q.

Se V è libero di rango n, si può scrivere una forma bilineare B come matrice simmetrica B relativa a qualche base {e_i} di V. Le componenti di questa matrice B sono date da $B i j = B (e i, e j)$ . Se 2 è invertibile, la forma quadratica Q è ottenuta da

$2 Q(u) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j$

dove gli uⁱ sono i componenti di u in questa base.

Due altre proprietà delle forme quadratiche sono le seguenti.

Q ubbidisce alla legge del parallelogramma:

Q (u + v) + Q (u - v) = 2 Q (u) + 2 Q (v)

I vettori u e v sono ortogonali rispetto a B se e solo se

Q (u + v) = Q (u) + Q (v)

[modifica] Definitezza di una forma quadratica

Consideriamo una forma quadratica Q definita su uno spazio vettoriale reale V. Essa si dice forma quadratica definita positiva se per ogni vettore $v\not=0$ di V si ha $Q (v) > 0$ . Si dice invece forma quadratica definita negativa se per ogni vettore $v\not=0$ di V si ha $Q (v) < 0$ . Quando nelle precedenti redisuguaglianze si sostituiscono le disuguaglianze strette rispettivamente con $\leq$ e con $\geq$ , si definiscono la forma quadratica semidefinita positiva e la forma quadratica sedefinita negativa, rispettivamente.

[modifica] Forme isotrope e anisotrope

Una forma quadratica Q sullo spazio V si dice forma quadratica isotropa quando in V si trova un vettore non nullo v tale che $Q (v) = 0$ . In caso contrario si parla di forma quadratica anisotropa.