Teorema di Tijdeman
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In teoria dei numeri, il teorema di Tijdeman afferma che esistono al più un numero finito di coppie di potenze consecutive. In altri termini, l'insieme delle soluzioni in x, y, n, m dell'equazione diofantea esponenziale
- ym = xn + 1,
con gli esponenti n ed m maggiori di 1, è finito.
Il teorema fu dimostrato dal teorico dei numeri olandese Robert Tijdeman nel 1976, e fornì un grande slancio per la ricerca di una dimostrazione della congettura di Catalan, conclusasi con Preda Mihăilescu. Il teorema di Mihăilescu afferma che esiste una sola soluzione, ossia 32 = 23 + 1.
La condizione che le potenze siano consecutive è essenziale per la dimostrazione di Tijdeman; il problema più generale di determinare il numero di soluzioni di
- ym = xn + k,
con n ed m maggiori di 1 e k intero positivo, è ancora irrisolto. Si congettura che il numero di soluzioni sia finito per ogni k; ad esempio, la sua finitezza sarebbe una conseguenza della congettura ABC.
[modifica] Bibliografia
- Robert Tijdeman, On the equation of Catalan, Acta Arithmetica 29 (1976), pp. 197-209
