Teorema di Taylor

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce è solo un abbozzo (stub). Se puoi, contribuisci adesso a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Per l'elenco completo degli stub di matematica, vedi la relativa categoria.

Il polinomio "di Taylor" è composto da una "parte principale" e da un infinitesimo di ordine superiore al grado del polinomio stesso.

Definizione: Teorema di Taylor

Sia $f: [a,b] \to \R$ derivabile n volte nell'intervallo (a,b). Sia x₀ un punto appartenente a questo intervallo. Si ha:

$f(x)=Tf(x) + o( (x-x_0)^n )_{per x \to x_0}$

Dove Tf(x) è detto "polinomio di Taylor":

$Tf(x) = f(x_0) + f^'(x_0)(x-x_0)+ { {f^{''}(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2 + ... + {{f^n(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n$

Una definizione alternativa, ma del tutto equivalente è:

Sia $f: [a,b] \to \R$ derivabile n volte nell'intervallo (a,b). Sia x₀ un punto appartenente a questo intervallo. Si ha:

$f(x) = \sum_{k=0}^n {{f^k(x_0)}\over{k!}}(x-x_0)^k + R_n(x) \ \forall x \in (a,b)$

con R_n(x) un infinitesimo di ordine superiore a (x-x₀)ⁿ cioè:

$\lim_{x \to x_0}{R_n(x)\over(x-x_0)^n} = 0$

R_n(x) si dice "resto nella forma di Peano".

Se n = 1 si ottiene la formula di Taylor del primo ordine. Se n = 2 si ottiene la formula di Taylor del secondo ordine. Per qualcunque n si ottiene un polinomio di grado m che fornisce un'approssimazione di f vicino a x₀ $f(x) = f(x_0) + f^'(x) (x-x_0)+ {{f^{''}(x)}\over{2}}(x-x_0)^2 + {{f^{'''}(x)}\over{6}}(x-x_0)^3+...+{{f^n(x)}\over{n!}}(x-x_0)^n + R_n(x)$ .

[modifica] Formula di Taylor per funzioni di due variabili

Riscriviamo la formula di Taylor in una dimensione nel punto $x 0$ :

$P_n (x) = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + \frac {f''(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 +...+ \frac {f^{n}(x_0}{n!} (x - x_0)^n$

Sappiamo che l'errore che si commette approssimando la funzione con il polinomio di Taylor è quantificabile:

$f(x) - P_n (x) = \frac {f^{n+1}(x_0)}{n+1!} (x - x_0)^{n+1}$

se la derivata (n+1)-esima è limitata: $|f^{n+1}(x_0)| \le M$ allora:

$|f(x) - P_n (x)| \le \frac {M}{n+1!} |x - x_0|^{n+1}$ .

Formula di Taylor di ordine 1

Sia $f (x 0, y 0)$ una funzione di classe $C 2$ e vogliamo calcolare il polinomio di Taylor in $(x 0, y 0)$ allora:

$f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k + R(h,k)$

dove $h = x - x 0$ e $k = y - y 0$ ed $R (h, k)$ è il resto che equivale a:

$R(h,k) = \frac {1}{2!} [f_{xx} (x_a,y_a) h^2 + 2 f_{xy}(x_a,y_a) hk + f_{yy}(x_a,y_a) k^2]$

Vale come per le funzioni di una variabile che se le derivate seconde sono limitate da un numero M, allora l'errore equivale:

$|R| \le M(h^2+k^2)$

Formula di Taylor di ordine 2

Con le stesse notazioni abbiamo:

$f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +$

$+ \frac {1}{2!} [f_{xx} (x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2] + R(h,k)$

Formula di Taylor di ordine 3

$f(x_0+h,y_0+k) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot h + f_y(x_0,y_0) \cdot k +$

$\frac {1}{2!} [f_{xx}(x_0,y_0) h^2 + 2 f_{xy}(x_0,y_0) hk + f_{yy}(x_0,y_0) k^2]+$

$+ \frac {1}{3!} [f_{xxx} (x_0,y_0) h^3 + 3 f_{xxy}(x_0,y_0) h^2 k + f_{xyy}(x_0,y_0)h k^2 + f_{yyy} (x_0,y_0) k^3] + R(h,k)$

[modifica] Voci correlate

Serie di Taylor

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../t/e/o/Teorema_di_Taylor_cac2.html"

Categorie: Stub matematica | Calcolo differenziale | Teoremi

Teorema di Taylor

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

[modifica] Formula di Taylor per funzioni di due variabili

[modifica] Voci correlate

Views

Navigazione

comunità

Ricerca

Altre lingue