Teorema de Taylor
De Viquipèdia
En càlcul, el Teorema de Taylor, rep el seu nom del matemàtic britànic Brook Taylor, qui ho va enunciar al 1712. Aquest teorema permet aproximar una funció derivable en l'entorn reduït al voltant d'un punt a: I (a, d) mitjançant un polinomi els coeficients del qual depenen de les derivades de la funció en aquest punt. En termes matemàtics: Si n≥0 és un enter i f una funció que és derivable n vegades en l'interval tancat [a, x] i n+1 en l'interval obert (a, x), llavors es complix que:
On, n! denota el factorial de n, i R és la resta, terme que depèn x i és petit si x està pròxim a l'instant a. Existeixen dues expressions per a R que s'esmenten a continuació:
on ξ, a, x, n perteneixen als reals
Si R és expressat de la primera forma, se l'anomena Terme complementari de Lagrange, atès que el teorema de Taylor s'exposa com una generalització del Teorema del Valor Mig del Càlcul Diferencial, mentre que la segona expressió de R mostra al teorema com una generalització de el Teorema fonamental del càlcul integral.
Per a algunes funcions f(x), es pot provar que la resta, R, s'aproxima a zero quan n s'acosta a el ∞; aquestes funcions poden ser expressades menjo sèries de Taylor en un entorn reduït al voltant d'un punt a i són denominades funcions analítiques.
El teorema de Taylor amb R expressat de la segona forma és també vàlid si la funció f té nombres complexos o valors vectorials. A més existeix una variació del teorema de Taylor para funcionis amb múltiples variables.
