Somma fra matrici

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici A e B con m righe e n colonne possono essere sommate, ed il risultato della loro addizione è una nuova matrice, che indichiamo con (A + B), con m righe ed n colonne.

Indice

1 Definizione
2 Proprietà
3 Altre definizioni
- 3.1 Somma diretta

[modifica] Definizione

La somma di due matrici A e B con m righe ed n colonne è la matrice (A + B) definita nel modo seguente:

(A + B) i, j : = A i, j + B i, j

Per esempio:

$\begin{bmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 2 & -5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+0 & 3+0 & -2+5 \\ 1+2 & 0-5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} =$

$\begin{bmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 3 & -5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Per definire la somma fra due matrici, non è necessario che i valori presenti siano elementi in un campo, come quello dei numeri reali o complessi: è sufficiente che siano in un gruppo. Ad esempio, sommando due matrici con valori interi si ottiene un'altra matrice con valori interi.

[modifica] Proprietà

Se i valori della matrice sono elementi di un gruppo commutativo (ad esempio, i numeri interi, o un qualsiasi campo) allora la somma fra matrici è commutativa.

[modifica] Altre definizioni

[modifica] Somma diretta

Un'altra operazione, usata meno frequentemente, è la somma diretta. Date due matrici A e B di forma qualsiasi, rispettivamente m × n e p × q, la somma diretta è una matrice (m + p) × (n + q) denifita nel modo seguente:

$A \oplus B = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{bmatrix}$

Ad esempio,

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

In generale, possiamo scrivere la somma diretta di n matrici come:

$\bigoplus_{i=1}^{n} A_{i} = \mbox{diag}( A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n)= \begin{bmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n \end{bmatrix}.$