Serie di potenze

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In matematica, si dice serie di potenze in una variabile una serie di funzioni della forma

$f(x)\,$	$= \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$
	$= a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \ldots$

dove i coefficienti a_n, il centro c e la variabile argomento x assumono, usualmente, valori reali o complessi. In matematica sono studiate anche serie di potenze di più variabili reali e complesse e serie di potenze di entità non numeriche (matrici, operatori, elementi di strutture algebriche, variabili formali, ...). Si considerano anche serie di potenze negative e di potenze intere sia negative che naturali.

Serie di potenze di uso frequente sono quelle ottenute da sviluppi di Taylor di funzioni particolari (molti esempi si trovano nell'articolo sviluppo di Taylor e negli articoli sulle funzioni speciali).

In molte situazioni interessano prevalentemente serie con il centro c uguale a zero, ad esempio quando si considera una serie di Maclaurin. In questi casi la serie di potenze assume la forma più semplice

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots.$

Da questa forma risulta evidente che le serie di potenze sono estensioni dei polinomi.

Le serie di potenze sono trattate primariamente nell'analisi matematica, ma svolgono un ruolo importante anche nella combinatorica (come serie formali di potenze e con il ruolo delle funzioni generatrici) e nell'ingegneria elettrica (con il nome di trasformata zeta). La familiare notazione decimale per i numeri reali compresi fra 0 e 1 si può considerare un esempio di serie di potenze con la variabile argomento x fissata al valore 1/10 (come la notazione decimale per gli interi si può considerare un caso particolare di polinomio). Inoltre il concetto di numero p-adico della teoria dei numeri è strettamente collegato a quello di serie di potenze.

Indice

1 Esempi
2 Raggio di convergenza
3 Operazioni sulle serie di potenze
4 Stima di somme
- 4.1 Dimostrazione
- 4.2 Stima di somme di quadrati
5 Funzioni analitiche
6 Serie di potenze formali
7 Serie di potenze di più variabili
8 Ordine di una serie di potenze
9 Voci correlate

[modifica] Esempi

Ogni polinomio può facilmente vedersi come serie di potenze intorno a qualsiasi centro c, relativa al fatto di avere una infinità di coefficienti uguali a zero. Ad esempio il polinomio $\,f(x) = x^2 + 2x + 3\,$ può essere riscritto come serie di potenze con centro $c = 0$

$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \ldots \,$

oppure come serie con centro $c = 1$

$f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \ldots \,$

o ancora come serie con un centro denotato con una generica c. Si potrebbe anche usare per le serie di potenze una espressione come "polinomi di grado infinito", espressione solo suggestiva in quanto le serie di potenze non sono polinomi.

La formula per la serie geometrica

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$ ,

valida per $| x | < 1$ , costituisce uno dei più importanti esempi di serie di potenze; un altro è fornito dalla formula della funzione esponenziale

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$ .

Questi costituiscono anche esempi di serie di Taylor. Esistono tuttavia anche serie di potenze che non sono serie di Taylor di alcuna funzione; ad esempio

$\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \ldots$ .

Una serie nella quale compaiono potenze negative della variabile non è considerata una serie di potenze; ad esempio $1 + x^{-1} + x^{-2} + \ldots$ non fa parte dell'insieme delle serie di potenze; essa fa parte di un altro insieme di serie, quello delle serie di Laurent. Similmente non sono ammesse fra le serie di potenze le serie nelle quali compaiono termini con potenze frazionali della variabile come $x 1 / 2$ ; esse costituiscono l'insieme delle serie di Puisieux. Osserviamo esplicitamente che i coefficienti $a n$ non possono dipendere dalla $x$ : quindi per esempio la

$\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \ldots \,$ non è considerata una serie di potenze.

[modifica] Raggio di convergenza

Una serie di potenze converge per alcuni valori della variabile x (almeno per x = c) e può divergere per altri. Si dimostra che per ogni serie esiste un numero r con 0 ≤ r ≤ ∞ tale che la serie converge quando |x − c| < r e diverge quando |x − c| > r. Questo numero r è chiamato raggio di convergenza della serie di potenze e per ogni serie è dato da

$r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$ ;

qui lim inf denota il limite inferiore. Una formula meno generale ma pratica è la seguente:

$r=\lim_{n\to\infty}\left|{a_n \over a_{n+1}}\right|$ .

Questa formula è però applicabile solo se il limite a secondo membro esiste.

La serie converge assolutamente per |x - c| < r e converge uniformemente su ogni sottoinsieme compatto del disco {x :| x − c| < r}.

Per |x - c| = r non si dispone di alcun enunciato generale sulla convergenza o meno della serie. Si ha però il teorema di Abel che afferma che la somma della serie è continua in un punto x se in esso la serie è convergente.

Un altro modo per ricavare il raggio di convergenza è il seguente:

Quando esiste il limite

$l = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

si individua il cosiddetto raggio di convergenza della serie di potenze $R$ uguale a:

$1 \over l$ se $l \not= 0, \infty$
$+ \infty\quad$ se $l = 0$
$0\quad$ se $l = \infty$

In questi casi se $| x | < R$ la serie converge, se $| x | > R$ essa diverge.
Per i valori della variabile per i quali $x = R$ invece ripetiamo che non si può affermare nulla di generale sul comportamento della serie di funzioni.

[modifica] Operazioni sulle serie di potenze

[modifica] Addizione e sottrazione

Date due funzioni f e g, quando si dispone dei loro sviluppi in serie di potenze relativi ad uno stesso centro c, le serie di potenze della somma f + g e della differenza f - g si possono ottenere mediante, rispettivamente, la somma e la differenza componente per componente dei due sviluppi. In formule, se:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n$

allora

$f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n$

[modifica] Moltiplicazione e divisione

Nella situazione sopra descritta, la serie di potenze del prodotto f &cdot; g si può ottenere mediante le formule seguenti:

$f(x)\cdot g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)$

$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}$

$= \sum_{n=0}^\infty (\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}) (x-c)^n$ .

La successione costituita delle $m_n := \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ per n = 0, 1, 2, ... viene chiamata convoluzione delle successioni $\{n\in\N\,:\!|\,a_n\}$ e $\{n\in\N\,:\!|\,b_n\}$ .

Per la serie del quoziente f / g vanno considerate le seguenti identità:

${f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n$

$f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n$

e quindi va considerato e risolto il sistema della successione delle equazioni che esprimono le uguaglianze dei coefficienti delle successive potenze.

[modifica] Differenziazione e integrazione

Quando una funzione viene data mediante una serie di potenze, è garantito che essa sia continua per tutti i valori della x per i quali la serie converge e che sia differenziabile sull'interiore della regione di convergenza. La funzione può essere derivata e integrata facilmente agendo separatamente su ciascuno dei termini:

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}$

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + C$

Entrambe queste serie hanno lo stesso raggio di convergenza della originale.

[modifica] Stima di somme

Per quando rigurda la stima di somma per una serie di potenze le cose si complicano a seconda del fattore i esimo. Nel caso i = 1 si ottiene facilmente l'espressione esplicita della somma:

$\sum_{k=0}^n k = {{n(n+1)}\over{2}}$

detta anche formula di Gauss, dato che è la somma di n numeri interi nella forma 1 + 2 + 3 ... + n.

[modifica] Dimostrazione

Ragionando per induzione su n, si ha che se n = 0 la proprietà è banalmente verificata. Supponiamola vera per $n \in N$ fissato; allora si ottiene:

$\sum_{k=0}^{n+1} k = n + 1 + \sum_{k=0}^n k = n + 1 + {{n(n+1)}\over{2}} = {{(n+1)(n+2)}\over{2}}$

L'uguaglianza è quindi vera per n + 1 e la proposizione risulta pertanto dimostratata.

[modifica] Stima di somme di quadrati

Possiamo ottenere un risultato analogo per la somma dei primi n quadrati, cioè $\sum_{k=0}^n k^2$ . A tale scopo si utilizza il metodo della perturbazione della somma che consente di ricavare l'espressione esatta di $\sum_{k=0}^n k^i$ per ogni intero maggiore di 1.

Si definisce $g(n)=\sum_{k=0}^n k ^3$ . E' chiaro che g(n+1) può essere espresso nelle due forme seguenti:

$g(n+1) = \sum_{k=0}^n k^3 + (n+1)^3$

$g(n+1) = \sum_{k=0}^n (k+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k^3 + 3k^2+ 3k +1)$

Uguagliando la parte destra delle due relazioni si ottiene

$\sum_{k=0}^n k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k^3 + 3k^2+ 3k +1)$

$\sum_{k=0}^n k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=0}^n k^3 + 3 \sum_{k=0}^n k^2 + 3 \sum_{k=0}^n k + n + 1$

Possiamo ora semplificare e applicare la proposizione precedente ottenendo

$3 \sum_{k=0}^n k^2 = (n+1)^3 - 3 {{n(n+1)}\over{2}} - n - 1$

da cui svolgendo semplici calcoli si ricava

$\sum_{k=0}^n k^2 = {{n(n+1)(2n+1)}\over{6}}$

ottenendo asintoticamente che

$\sum_{k=0}^n k^2 = {n^3 \over 3} + \theta (n^2)$

Questo metodo può essere applicato per ogni i maggiore di uno. Esiste anche una forumula generica che esprime:

$\sum_{k=0}^n k^i = {{n^{i+1}}\over{i+1}} + \theta(n^i)$

[modifica] Funzioni analitiche

Una funzione f definita su qualche sottoinsieme aperto U di R o C si dice funzione analitica se localmente è data da una serie di potenze. Questo significa che ogni numero a ∈ U possiede un intorno aperto V ⊆ U, tale che esiste una serie di potenze con centro a che converge a f(x) per ogni x ∈ V.

Ogni serie di potenze con raggio di convergenza positivo fornisce una funzione analitica sull'interiore della sua regione di convergenza. Ogni funzione olomorfa è analitica complessa. Somme e prodotti di funzioni analitiche sono analitiche; funzioni analitiche sono costituite anche dai quozienti qualora il denominatore sia diverso da zero.

Se una funzione è analitica, allora è illimitatamente differenziabile, mentre nel caso reale il viceversa non è vero in generale. Per una funzione analitica i coefficienti a_n possono essere calcolati mediante la

$a_n = \frac {f^{\left( n \right)}\left( c \right)} {n!}$

dove f⁽ⁿ⁾(c) denota la derivata n-esima della f nel punto c. Questo si esprime anche dicendo che ogni funzione analitica è rappresentata localmente dal suo sviluppo di Taylor.

La forma globale di una funzione analitica è completamente determinato dal suo comportamento locale nel senso seguente: se f e g sono due funzioni analitiche definite su uno stesso insieme aperto connesso U e se esiste un elemento c∈U tale che f⁽ⁿ⁾(c) = g⁽ⁿ⁾(c) per ogni n ≥ 0, allora f(x) = g(x) per ogni x ∈ U.

Se è data una serie di potenze con raggio di convergenza r si possono considerare le continuazioni analitiche della serie, cioè le funzioni analitiche f che sono definite su domini più estesi di { x : |x - c| < r } e che coincidono con la serie di potenze data su questo insieme. Il numero r è massimale nel senso seguente: esiste sempre un numero complesso x con |x - a| = r tale che in esso non si può definire nessuna continuazione analitica della serie.

Lo sviluppo in serie di potenze della funzione inversa di una funzione analitica può esser determinato servendosi del teorema di inversione di Lagrange.

[modifica] Serie di potenze formali

La nozione di serie formale di potenze è stata introdotta per trattare le serie di potenze secondo la tendenza dell'algebra astratta, cioè cercando di individuare le proprietà delle serie di potenze "algebricamente essenziali", collegate ad operazioni di composizione fra serie, rinunciando ai risultati numerici che esse possono fornire con il processo di passaggio al limite delle somme parziali e quindi senza la necessità di preoccuparsi per la loro convergenza. In effetti negli anni recenti le serie formali di potenze si sono rivelate di grande utilità nella combinatorica.

[modifica] Serie di potenze di più variabili

Per gli sviluppi del calcolo multivariato si rende necessario estendere la teoria per poter operare con potenze di più variabili. Una serie di potenze di più variabili viene definita come serie della forma

$f(x_1,...,x_n) = \sum_{j_1,...,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,...,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},$

dove j = (j₁, ..., j_n) è una sequenza di interi naturali, i coefficienti a_{(j₁,...,j_n)}, il centro sono fondamentalmente numeri reali o complessi, mentre il centro c = (c₁, ..., c_n) e l'argomento x = (x₁, ..., x_n) assumono fondamentalmente come valori dati da n-uple di reali o compleddi. Mediante la più concisa notazione che si serve di multi-indici si può scrivere

$f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.$

La teoria di tali serie è sensibilmente più complicata di quella delle serie di potenza di una sola variabile. Ad esempio la regione di convergenza assoluta è ora costituita da un insieme log-convesso, e non da un semplice intervallo reale o da un cerchio di convergenza. Peraltro all'interno di questa regione di convergenza è possibile effettuare differenziazioni e integrazioni sotto il segno di serie, proprio come si può fare con le serie di potenze di una sola variabile.

[modifica] Ordine di una serie di potenze

Denotiamo con α una variabile sulle sequenze di n naturali da considerare come multiindice di una serie di potenze f(x₁, x₂, …, x_n). Si definisce ordine della serie f il minimo valore del peso |α| della sequenza tale che a_α ≠ 0, oppure il valore 0 se f ≡ 0. In particolare l'ordine di una serie di potenze di una sola variabile x è la minima potenza della variabile con coefficiente non nullo. Questa definizione si estende facilmente alle serie di Laurent.

[modifica] Voci correlate

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